Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66578 / 64533
↖ ↑ ↗
← N  2.753761°
E  2.861939°		 ← 305.07 m → N  2.753761°
E  2.864685°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.751017°
E  2.861939°		 ← 305.07 m →
93 080 m²		 N  2.751017°
E  2.864685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507953643798828 y=0.492351531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507953643798828 × 217)
    floor (0.507953643798828 × 131072)
    floor (66578.5)     		tx = 66578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492351531982422 × 217)
    floor (0.492351531982422 × 131072)
    floor (64533.5)     		ty = 64533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66578 / 64533 ti = "17/66578/64533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66578/64533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66578 ÷ 217
    66578 ÷ 131072     		x = 0.507949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64533 ÷ 217
    64533 ÷ 131072     		y = 0.492347717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507949829101562 × 2 - 1) × π
    0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492347717285156 × 2 - 1) × π
    0.0153045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0480807103189163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04995025} λ = 0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0480807103189163))-π/2
    2×atan(1.04925533763998)-π/2
    2×0.809429261339153-π/2
    1.61885852267831-1.57079632675     		φ = 0.04806220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04806220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.753761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66578 KachelY 64533 0.04995025 0.04806220 2.861939 2.753761
    Oben rechts KachelX + 1 66579 KachelY 64533 0.04999819 0.04806220 2.864685 2.753761
    Unten links KachelX 66578 KachelY + 1 64534 0.04995025 0.04801431 2.861939 2.751017
    Unten rechts KachelX + 1 66579 KachelY + 1 64534 0.04999819 0.04801431 2.864685 2.751017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04806220-0.04801431) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04806220-0.04801431) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04995025-0.04999819) × cos(0.04806220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998845234781162 × 6371000     		do = 305.073044978487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04995025-0.04999819) × cos(0.04801431) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998847534448475 × 6371000     		du = 305.073747356078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04806220)-sin(0.04801431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998845234781162-0.998847534448475)×R²
    abs(0.04999819-0.04995025)×2.29966731313258e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.29966731313258e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.29966731313258e-06×40589641000000     		ar = 93080.0866661411m²