Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66578 / 64531
↖ ↑ ↗
← N  2.759248°
E  2.861939°		 ← 305.07 m → N  2.759248°
E  2.864685°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.756505°
E  2.861939°		 ← 305.07 m →
93 060 m²		 N  2.756505°
E  2.864685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507953643798828 y=0.492336273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507953643798828 × 217)
    floor (0.507953643798828 × 131072)
    floor (66578.5)     		tx = 66578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492336273193359 × 217)
    floor (0.492336273193359 × 131072)
    floor (64531.5)     		ty = 64531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66578 / 64531 ti = "17/66578/64531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66578/64531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66578 ÷ 217
    66578 ÷ 131072     		x = 0.507949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64531 ÷ 217
    64531 ÷ 131072     		y = 0.492332458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507949829101562 × 2 - 1) × π
    0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492332458496094 × 2 - 1) × π
    0.0153350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0481765841181564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04995025} λ = 0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0481765841181564))-π/2
    2×atan(1.04935593855799)-π/2
    2×0.809477142772571-π/2
    1.61895428554514-1.57079632675     		φ = 0.04815796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04815796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.759248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66578 KachelY 64531 0.04995025 0.04815796 2.861939 2.759248
    Oben rechts KachelX + 1 66579 KachelY 64531 0.04999819 0.04815796 2.864685 2.759248
    Unten links KachelX 66578 KachelY + 1 64532 0.04995025 0.04811008 2.861939 2.756505
    Unten rechts KachelX + 1 66579 KachelY + 1 64532 0.04999819 0.04811008 2.864685 2.756505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04815796-0.04811008) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04815796-0.04811008) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04995025-0.04999819) × cos(0.04815796) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998840629536917 × 6371000     		do = 305.071638418355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04995025-0.04999819) × cos(0.04811008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99884293330396 × 6371000     		du = 305.072342048109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04815796)-sin(0.04811008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998840629536917-0.99884293330396)×R²
    abs(0.04999819-0.04995025)×2.30376704335455e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.30376704335455e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30376704335455e-06×40589641000000     		ar = 93060.2215690384m²