Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66574 / 64532
↖ ↑ ↗
← N  2.756505°
E  2.850952°		 ← 305.07 m → N  2.756505°
E  2.853699°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.753761°
E  2.850952°		 ← 305.07 m →
93 060 m²		 N  2.753761°
E  2.853699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507923126220703 y=0.492343902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507923126220703 × 217)
    floor (0.507923126220703 × 131072)
    floor (66574.5)     		tx = 66574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492343902587891 × 217)
    floor (0.492343902587891 × 131072)
    floor (64532.5)     		ty = 64532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66574 / 64532 ti = "17/66574/64532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66574/64532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66574 ÷ 217
    66574 ÷ 131072     		x = 0.507919311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64532 ÷ 217
    64532 ÷ 131072     		y = 0.492340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507919311523438 × 2 - 1) × π
    0.015838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04975850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    0.01531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04975850} λ = 0.04975850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0481286472185364))-π/2
    2×atan(1.04930563689336)-π/2
    2×0.809453202083458-π/2
    1.61890640416692-1.57079632675     		φ = 0.04811008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04975850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.850952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04811008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.756505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66574 KachelY 64532 0.04975850 0.04811008 2.850952 2.756505
    Oben rechts KachelX + 1 66575 KachelY 64532 0.04980644 0.04811008 2.853699 2.756505
    Unten links KachelX 66574 KachelY + 1 64533 0.04975850 0.04806220 2.850952 2.753761
    Unten rechts KachelX + 1 66575 KachelY + 1 64533 0.04980644 0.04806220 2.853699 2.753761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04811008-0.04806220) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04811008-0.04806220) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04975850-0.04980644) × cos(0.04811008) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99884293330396 × 6371000     		do = 305.072342048153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04975850-0.04980644) × cos(0.04806220) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998845234781162 × 6371000     		du = 305.073044978531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04811008)-sin(0.04806220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99884293330396-0.998845234781162)×R²
    abs(0.04980644-0.04975850)×2.3014772015939e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.3014772015939e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3014772015939e-06×40589641000000     		ar = 93060.4361000744m²