Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66573 / 64424
↖ ↑ ↗
← N  3.052754°
E  2.848205°		 ← 304.99 m → N  3.052754°
E  2.850952°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.050011°
E  2.848205°		 ← 304.99 m →
93 017 m²		 N  3.050011°
E  2.850952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507915496826172 y=0.491519927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507915496826172 × 217)
    floor (0.507915496826172 × 131072)
    floor (66573.5)     		tx = 66573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491519927978516 × 217)
    floor (0.491519927978516 × 131072)
    floor (64424.5)     		ty = 64424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66573 / 64424 ti = "17/66573/64424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66573/64424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66573 ÷ 217
    66573 ÷ 131072     		x = 0.507911682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64424 ÷ 217
    64424 ÷ 131072     		y = 0.49151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507911682128906 × 2 - 1) × π
    0.0158233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04971056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49151611328125 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04971056} λ = 0.04971056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0533058323775024))-π/2
    2×atan(1.05475217316188)-π/2
    2×0.812038466116345-π/2
    1.62407693223269-1.57079632675     		φ = 0.05328061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04971056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.848205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05328061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.052754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66573 KachelY 64424 0.04971056 0.05328061 2.848205 3.052754
    Oben rechts KachelX + 1 66574 KachelY 64424 0.04975850 0.05328061 2.850952 3.052754
    Unten links KachelX 66573 KachelY + 1 64425 0.04971056 0.05323274 2.848205 3.050011
    Unten rechts KachelX + 1 66574 KachelY + 1 64425 0.04975850 0.05323274 2.850952 3.050011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05328061-0.05323274) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05328061-0.05323274) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04971056-0.04975850) × cos(0.05328061) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998580924055504 × 6371000     		do = 304.992317679513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04971056-0.04975850) × cos(0.05323274) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998583472247575 × 6371000     		du = 304.993095962962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05328061)-sin(0.05323274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998580924055504-0.998583472247575)×R²
    abs(0.04975850-0.04971056)×2.548192071683e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.548192071683e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.548192071683e-06×40589641000000     		ar = 93016.605595781m²