Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66566 / 64422
↖ ↑ ↗
← N  3.058239°
E  2.828980°		 ← 304.93 m → N  3.058239°
E  2.831726°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.055496°
E  2.828980°		 ← 304.93 m →
92 997 m²		 N  3.055496°
E  2.831726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507862091064453 y=0.491504669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507862091064453 × 217)
    floor (0.507862091064453 × 131072)
    floor (66566.5)     		tx = 66566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491504669189453 × 217)
    floor (0.491504669189453 × 131072)
    floor (64422.5)     		ty = 64422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66566 / 64422 ti = "17/66566/64422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66566/64422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66566 ÷ 217
    66566 ÷ 131072     		x = 0.507858276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64422 ÷ 217
    64422 ÷ 131072     		y = 0.491500854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507858276367188 × 2 - 1) × π
    0.015716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04937501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491500854492188 × 2 - 1) × π
    0.016998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0534017061767426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04937501} λ = 0.04937501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0534017061767426))-π/2
    2×atan(1.05485330110766)-π/2
    2×0.812086334867598-π/2
    1.6241726697352-1.57079632675     		φ = 0.05337634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04937501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.828980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05337634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.058239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66566 KachelY 64422 0.04937501 0.05337634 2.828980 3.058239
    Oben rechts KachelX + 1 66567 KachelY 64422 0.04942294 0.05337634 2.831726 3.058239
    Unten links KachelX 66566 KachelY + 1 64423 0.04937501 0.05332847 2.828980 3.055496
    Unten rechts KachelX + 1 66567 KachelY + 1 64423 0.04942294 0.05332847 2.831726 3.055496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05337634-0.05332847) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05337634-0.05332847) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04937501-0.04942294) × cos(0.05337634) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998575821340021 × 6371000     		do = 304.927139913316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04937501-0.04942294) × cos(0.05332847) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998578374108179 × 6371000     		du = 304.927919431783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05337634)-sin(0.05332847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998575821340021-0.998578374108179)×R²
    abs(0.04942294-0.04937501)×2.55276815797068e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.55276815797068e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.55276815797068e-06×40589641000000     		ar = 92996.7278839544m²