Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66550 / 64438
↖ ↑ ↗
← N  3.014356°
E  2.785034°		 ← 304.94 m → N  3.014356°
E  2.787781°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.011613°
E  2.785034°		 ← 304.94 m →
93 001 m²		 N  3.011613°
E  2.787781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507740020751953 y=0.491626739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507740020751953 × 217)
    floor (0.507740020751953 × 131072)
    floor (66550.5)     		tx = 66550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491626739501953 × 217)
    floor (0.491626739501953 × 131072)
    floor (64438.5)     		ty = 64438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66550 / 64438 ti = "17/66550/64438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66550/64438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66550 ÷ 217
    66550 ÷ 131072     		x = 0.507736206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64438 ÷ 217
    64438 ÷ 131072     		y = 0.491622924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507736206054688 × 2 - 1) × π
    0.015472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04860802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491622924804688 × 2 - 1) × π
    0.016754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0526347157828217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04860802} λ = 0.04860802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0526347157828217))-π/2
    2×atan(1.05404454895093)-π/2
    2×0.811703378038627-π/2
    1.62340675607725-1.57079632675     		φ = 0.05261043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04860802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.785034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05261043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.014356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66550 KachelY 64438 0.04860802 0.05261043 2.785034 3.014356
    Oben rechts KachelX + 1 66551 KachelY 64438 0.04865595 0.05261043 2.787781 3.014356
    Unten links KachelX 66550 KachelY + 1 64439 0.04860802 0.05256256 2.785034 3.011613
    Unten rechts KachelX + 1 66551 KachelY + 1 64439 0.04865595 0.05256256 2.787781 3.011613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05261043-0.05256256) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05261043-0.05256256) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04860802-0.04865595) × cos(0.05261043) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99861639050792 × 6371000     		do = 304.939528196781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04860802-0.04865595) × cos(0.05256256) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99861890666339 × 6371000     		du = 304.940296535123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05261043)-sin(0.05256256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99861639050792-0.99861890666339)×R²
    abs(0.04865595-0.04860802)×2.51615547042228e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.51615547042228e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.51615547042228e-06×40589641000000     		ar = 93000.5043549465m²