Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66543 / 44463
↖ ↑ ↗
← N 49.981254°
E  2.765808°		 ← 196.36 m → N 49.981254°
E  2.768554°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
N 49.979488°
E  2.765808°		 ← 196.37 m →
38 569 m²		 N 49.979488°
E  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507686614990234 y=0.339229583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507686614990234 × 217)
    floor (0.507686614990234 × 131072)
    floor (66543.5)     		tx = 66543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339229583740234 × 217)
    floor (0.339229583740234 × 131072)
    floor (44463.5)     		ty = 44463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66543 / 44463 ti = "17/66543/44463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66543/44463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66543 ÷ 217
    66543 ÷ 131072     		x = 0.507682800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44463 ÷ 217
    44463 ÷ 131072     		y = 0.339225769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507682800292969 × 2 - 1) × π
    0.0153656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04827246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339225769042969 × 2 - 1) × π
    0.321548461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01017428569344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04827246} λ = 0.04827246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01017428569344))-π/2
    2×atan(2.74607957569567)-π/2
    2×1.22156688624572-π/2
    2.44313377249145-1.57079632675     		φ = 0.87233745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04827246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.765808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87233745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.981254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66543 KachelY 44463 0.04827246 0.87233745 2.765808 49.981254
    Oben rechts KachelX + 1 66544 KachelY 44463 0.04832039 0.87233745 2.768554 49.981254
    Unten links KachelX 66543 KachelY + 1 44464 0.04827246 0.87230662 2.765808 49.979488
    Unten rechts KachelX + 1 66544 KachelY + 1 44464 0.04832039 0.87230662 2.768554 49.979488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87233745-0.87230662) × R
    3.08299999999262e-05 × 6371000     		dl = 196.41792999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87233745-0.87230662) × R
    3.08299999999262e-05 × 6371000     		dr = 196.41792999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04827246-0.04832039) × cos(0.87233745) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.643038206633297 × 6371000     		do = 196.359452145081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04827246-0.04832039) × cos(0.87230662) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.643061816992917 × 6371000     		du = 196.366661852424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87233745)-sin(0.87230662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643038206633297-0.643061816992917)×R²
    abs(0.04832039-0.04827246)×2.36103596200632e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.36103596200632e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.36103596200632e-05×40589641000000     		ar = 38569.225187132m²