Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6654 / 7694
↖ ↑ ↗
← S 82.754296°
E112.412110°		 ← 616.31 m → S 82.754296°
E112.456055°		 →
↑
616.08 m
↓
↑
616.08 m
↓
S 82.759836°
E112.412110°		 ← 615.84 m →
379 547 m²		 S 82.759836°
E112.456055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81231689453125 y=0.93927001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81231689453125 × 213)
    floor (0.81231689453125 × 8192)
    floor (6654.5)     		tx = 6654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93927001953125 × 213)
    floor (0.93927001953125 × 8192)
    floor (7694.5)     		ty = 7694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6654 / 7694 ti = "13/6654/7694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6654/7694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6654 ÷ 213
    6654 ÷ 8192     		x = 0.812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7694 ÷ 213
    7694 ÷ 8192     		y = 0.939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96196143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.87841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75963143732739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96196143} λ = 1.96196143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75963143732739))-π/2
    2×atan(0.0633150996421972)-π/2
    2×0.0632306966662217-π/2
    0.126461393332443-1.57079632675     		φ = -1.44433493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96196143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.412110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44433493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.754296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6654 KachelY 7694 1.96196143 -1.44433493 112.412110 -82.754296
    Oben rechts KachelX + 1 6655 KachelY 7694 1.96272842 -1.44433493 112.456055 -82.754296
    Unten links KachelX 6654 KachelY + 1 7695 1.96196143 -1.44443163 112.412110 -82.759836
    Unten rechts KachelX + 1 6655 KachelY + 1 7695 1.96272842 -1.44443163 112.456055 -82.759836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44433493--1.44443163) × R
    9.67000000000606e-05 × 6371000     		dl = 616.075700000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44433493--1.44443163) × R
    9.67000000000606e-05 × 6371000     		dr = 616.075700000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96196143-1.96272842) × cos(-1.44433493) × R
    0.000766990000000023 × 0.126124594227219 × 6371000     		do = 616.306983395298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96196143-1.96272842) × cos(-1.44443163) × R
    0.000766990000000023 × 0.126028665844375 × 6371000     		du = 615.838229996211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44433493)-sin(-1.44443163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126124594227219-0.126028665844375)×R²
    abs(1.96272842-1.96196143)×9.59283828440016e-05×R²
    0.000766990000000023×9.59283828440016e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.59283828440016e-05×40589641000000     		ar = 379547.362714204m²