Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66527 / 64289
↖ ↑ ↗
← N  3.422950°
E  2.721863°		 ← 304.82 m → N  3.422950°
E  2.724609°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
N  3.420208°
E  2.721863°		 ← 304.82 m →
92 924 m²		 N  3.420208°
E  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507564544677734 y=0.490489959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507564544677734 × 217)
    floor (0.507564544677734 × 131072)
    floor (66527.5)     		tx = 66527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490489959716797 × 217)
    floor (0.490489959716797 × 131072)
    floor (64289.5)     		ty = 64289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66527 / 64289 ti = "17/66527/64289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66527/64289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66527 ÷ 217
    66527 ÷ 131072     		x = 0.507560729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64289 ÷ 217
    64289 ÷ 131072     		y = 0.490486145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507560729980469 × 2 - 1) × π
    0.0151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04750547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490486145019531 × 2 - 1) × π
    0.0190277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.05977731382621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04750547} λ = 0.04750547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.05977731382621))-π/2
    2×atan(1.06160011655344)-π/2
    2×0.815269035870303-π/2
    1.63053807174061-1.57079632675     		φ = 0.05974174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04750547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05974174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.422950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66527 KachelY 64289 0.04750547 0.05974174 2.721863 3.422950
    Oben rechts KachelX + 1 66528 KachelY 64289 0.04755340 0.05974174 2.724609 3.422950
    Unten links KachelX 66527 KachelY + 1 64290 0.04750547 0.05969389 2.721863 3.420208
    Unten rechts KachelX + 1 66528 KachelY + 1 64290 0.04755340 0.05969389 2.724609 3.420208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05974174-0.05969389) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05974174-0.05969389) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04750547-0.04755340) × cos(0.05974174) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998215992950242 × 6371000     		do = 304.817261985762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04750547-0.04755340) × cos(0.05969389) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998218848749583 × 6371000     		du = 304.818134038446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05974174)-sin(0.05969389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998215992950242-0.998218848749583)×R²
    abs(0.04755340-0.04750547)×2.85579934067304e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.85579934067304e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.85579934067304e-06×40589641000000     		ar = 92924.3915783139m²