Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66525 / 64294
↖ ↑ ↗
← N  3.409242°
E  2.716369°		 ← 304.89 m → N  3.409242°
E  2.719116°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.406499°
E  2.716369°		 ← 304.89 m →
92 965 m²		 N  3.406499°
E  2.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507549285888672 y=0.490528106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507549285888672 × 217)
    floor (0.507549285888672 × 131072)
    floor (66525.5)     		tx = 66525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490528106689453 × 217)
    floor (0.490528106689453 × 131072)
    floor (64294.5)     		ty = 64294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66525 / 64294 ti = "17/66525/64294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66525/64294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66525 ÷ 217
    66525 ÷ 131072     		x = 0.507545471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64294 ÷ 217
    64294 ÷ 131072     		y = 0.490524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507545471191406 × 2 - 1) × π
    0.0150909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04740959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490524291992188 × 2 - 1) × π
    0.018951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0595376293281097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04740959} λ = 0.04740959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0595376293281097))-π/2
    2×atan(1.06134569795364)-π/2
    2×0.815149406565862-π/2
    1.63029881313172-1.57079632675     		φ = 0.05950249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04740959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.716369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05950249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.409242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66525 KachelY 64294 0.04740959 0.05950249 2.716369 3.409242
    Oben rechts KachelX + 1 66526 KachelY 64294 0.04745753 0.05950249 2.719116 3.409242
    Unten links KachelX 66525 KachelY + 1 64295 0.04740959 0.05945463 2.716369 3.406499
    Unten rechts KachelX + 1 66526 KachelY + 1 64295 0.04745753 0.05945463 2.719116 3.406499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05950249-0.05945463) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05950249-0.05945463) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04740959-0.04745753) × cos(0.05950249) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998230249091437 × 6371000     		do = 304.885212519113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04740959-0.04745753) × cos(0.05945463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998233094057187 × 6371000     		du = 304.886081444883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05950249)-sin(0.05945463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998230249091437-0.998233094057187)×R²
    abs(0.04745753-0.04740959)×2.84496574998183e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.84496574998183e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.84496574998183e-06×40589641000000     		ar = 92964.5302460425m²