Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66523 / 64291
↖ ↑ ↗
← N  3.417466°
E  2.710876°		 ← 304.88 m → N  3.417466°
E  2.713623°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
N  3.414725°
E  2.710876°		 ← 304.88 m →
92 944 m²		 N  3.414725°
E  2.713623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507534027099609 y=0.490505218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507534027099609 × 217)
    floor (0.507534027099609 × 131072)
    floor (66523.5)     		tx = 66523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490505218505859 × 217)
    floor (0.490505218505859 × 131072)
    floor (64291.5)     		ty = 64291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66523 / 64291 ti = "17/66523/64291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66523/64291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66523 ÷ 217
    66523 ÷ 131072     		x = 0.507530212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64291 ÷ 217
    64291 ÷ 131072     		y = 0.490501403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507530212402344 × 2 - 1) × π
    0.0150604248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04731372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490501403808594 × 2 - 1) × π
    0.0189971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0596814400269699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04731372} λ = 0.04731372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0596814400269699))-π/2
    2×atan(1.06149834179584)-π/2
    2×0.81522118435358-π/2
    1.63044236870716-1.57079632675     		φ = 0.05964604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04731372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.710876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05964604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.417466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66523 KachelY 64291 0.04731372 0.05964604 2.710876 3.417466
    Oben rechts KachelX + 1 66524 KachelY 64291 0.04736166 0.05964604 2.713623 3.417466
    Unten links KachelX 66523 KachelY + 1 64292 0.04731372 0.05959819 2.710876 3.414725
    Unten rechts KachelX + 1 66524 KachelY + 1 64292 0.04736166 0.05959819 2.713623 3.414725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05964604-0.05959819) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05964604-0.05959819) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04731372-0.04736166) × cos(0.05964604) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998221702263379 × 6371000     		do = 304.882602097873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04731372-0.04736166) × cos(0.05959819) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998224553491625 × 6371000     		du = 304.88347293637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05964604)-sin(0.05959819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998221702263379-0.998224553491625)×R²
    abs(0.04736166-0.04731372)×2.85122824561501e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.85122824561501e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.85122824561501e-06×40589641000000     		ar = 92944.3104799618m²