Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66512 / 64305
↖ ↑ ↗
← N  3.379082°
E  2.680664°		 ← 304.89 m → N  3.379082°
E  2.683411°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.376340°
E  2.680664°		 ← 304.90 m →
92 967 m²		 N  3.376340°
E  2.683411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507450103759766 y=0.490612030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507450103759766 × 217)
    floor (0.507450103759766 × 131072)
    floor (66512.5)     		tx = 66512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490612030029297 × 217)
    floor (0.490612030029297 × 131072)
    floor (64305.5)     		ty = 64305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66512 / 64305 ti = "17/66512/64305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66512/64305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66512 ÷ 217
    66512 ÷ 131072     		x = 0.5074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64305 ÷ 217
    64305 ÷ 131072     		y = 0.490608215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5074462890625 × 2 - 1) × π
    0.014892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04678641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490608215332031 × 2 - 1) × π
    0.0187835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0590103234322891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04678641} λ = 0.04678641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0590103234322891))-π/2
    2×atan(1.06078619163806)-π/2
    2×0.814886216103616-π/2
    1.62977243220723-1.57079632675     		φ = 0.05897611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04678641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05897611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.379082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66512 KachelY 64305 0.04678641 0.05897611 2.680664 3.379082
    Oben rechts KachelX + 1 66513 KachelY 64305 0.04683435 0.05897611 2.683411 3.379082
    Unten links KachelX 66512 KachelY + 1 64306 0.04678641 0.05892825 2.680664 3.376340
    Unten rechts KachelX + 1 66513 KachelY + 1 64306 0.04683435 0.05892825 2.683411 3.376340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05897611-0.05892825) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05897611-0.05892825) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04678641-0.04683435) × cos(0.05897611) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998261413238983 × 6371000     		do = 304.894730851939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04678641-0.04683435) × cos(0.05892825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998264233056342 × 6371000     		du = 304.895592096742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05897611)-sin(0.05892825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998261413238983-0.998264233056342)×R²
    abs(0.04683435-0.04678641)×2.81981735883452e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.81981735883452e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.81981735883452e-06×40589641000000     		ar = 92967.4313675629m²