Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66511 / 64307
↖ ↑ ↗
← N  3.373598°
E  2.677918°		 ← 304.83 m → N  3.373598°
E  2.680664°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.370856°
E  2.677918°		 ← 304.83 m →
92 949 m²		 N  3.370856°
E  2.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507442474365234 y=0.490627288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507442474365234 × 217)
    floor (0.507442474365234 × 131072)
    floor (66511.5)     		tx = 66511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490627288818359 × 217)
    floor (0.490627288818359 × 131072)
    floor (64307.5)     		ty = 64307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66511 / 64307 ti = "17/66511/64307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66511/64307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66511 ÷ 217
    66511 ÷ 131072     		x = 0.507438659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64307 ÷ 217
    64307 ÷ 131072     		y = 0.490623474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507438659667969 × 2 - 1) × π
    0.0148773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04673848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490623474121094 × 2 - 1) × π
    0.0187530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.058914449633049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04673848} λ = 0.04673848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.058914449633049))-π/2
    2×atan(1.06068449491079)-π/2
    2×0.814838362411305-π/2
    1.62967672482261-1.57079632675     		φ = 0.05888040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04673848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.677918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05888040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.373598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66511 KachelY 64307 0.04673848 0.05888040 2.677918 3.373598
    Oben rechts KachelX + 1 66512 KachelY 64307 0.04678641 0.05888040 2.680664 3.373598
    Unten links KachelX 66511 KachelY + 1 64308 0.04673848 0.05883254 2.677918 3.370856
    Unten rechts KachelX + 1 66512 KachelY + 1 64308 0.04678641 0.05883254 2.680664 3.370856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05888040-0.05883254) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05888040-0.05883254) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04673848-0.04678641) × cos(0.05888040) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998267049998633 × 6371000     		do = 304.832852869704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04673848-0.04678641) × cos(0.05883254) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998269865243256 × 6371000     		du = 304.833712538517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05888040)-sin(0.05883254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998267049998633-0.998269865243256)×R²
    abs(0.04678641-0.04673848)×2.81524462275584e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.81524462275584e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.81524462275584e-06×40589641000000     		ar = 92948.5635367479m²