Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6651 / 7693
↖ ↑ ↗
← S 82.748751°
E112.280274°		 ← 616.78 m → S 82.748751°
E112.324219°		 →
↑
616.52 m
↓
↑
616.52 m
↓
S 82.754296°
E112.280274°		 ← 616.31 m →
380 111 m²		 S 82.754296°
E112.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81195068359375 y=0.93914794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81195068359375 × 213)
    floor (0.81195068359375 × 8192)
    floor (6651.5)     		tx = 6651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93914794921875 × 213)
    floor (0.93914794921875 × 8192)
    floor (7693.5)     		ty = 7693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6651 / 7693 ti = "13/6651/7693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6651/7693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6651 ÷ 213
    6651 ÷ 8192     		x = 0.8118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7693 ÷ 213
    7693 ÷ 8192     		y = 0.9390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8118896484375 × 2 - 1) × π
    0.623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95966046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.878173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75886444693347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95966046} λ = 1.95966046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75886444693347))-π/2
    2×atan(0.063363680343497)-π/2
    2×0.0632790832464398-π/2
    0.12655816649288-1.57079632675     		φ = -1.44423816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95966046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.280274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44423816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.748751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6651 KachelY 7693 1.95966046 -1.44423816 112.280274 -82.748751
    Oben rechts KachelX + 1 6652 KachelY 7693 1.96042745 -1.44423816 112.324219 -82.748751
    Unten links KachelX 6651 KachelY + 1 7694 1.95966046 -1.44433493 112.280274 -82.754296
    Unten rechts KachelX + 1 6652 KachelY + 1 7694 1.96042745 -1.44433493 112.324219 -82.754296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44423816--1.44433493) × R
    9.67699999998572e-05 × 6371000     		dl = 616.52166999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44423816--1.44433493) × R
    9.67699999998572e-05 × 6371000     		dr = 616.52166999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95966046-1.96042745) × cos(-1.44423816) × R
    0.000766990000000023 × 0.12622059087084 × 6371000     		do = 616.776070350214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95966046-1.96042745) × cos(-1.44433493) × R
    0.000766990000000023 × 0.126124594227219 × 6371000     		du = 616.306983395298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44423816)-sin(-1.44433493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12622059087084-0.126124594227219)×R²
    abs(1.96042745-1.95966046)×9.59966436208382e-05×R²
    0.000766990000000023×9.59966436208382e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.59966436208382e-05×40589641000000     		ar = 380111.212068687m²