Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66498 / 44595
↖ ↑ ↗
← N 49.747556°
E  2.642212°		 ← 197.31 m → N 49.747556°
E  2.644958°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 49.745781°
E  2.642212°		 ← 197.32 m →
38 945 m²		 N 49.745781°
E  2.644958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507343292236328 y=0.340236663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507343292236328 × 217)
    floor (0.507343292236328 × 131072)
    floor (66498.5)     		tx = 66498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340236663818359 × 217)
    floor (0.340236663818359 × 131072)
    floor (44595.5)     		ty = 44595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66498 / 44595 ti = "17/66498/44595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66498/44595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66498 ÷ 217
    66498 ÷ 131072     		x = 0.507339477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44595 ÷ 217
    44595 ÷ 131072     		y = 0.340232849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507339477539062 × 2 - 1) × π
    0.014678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04611530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340232849121094 × 2 - 1) × π
    0.319534301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0038466149436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04611530} λ = 0.04611530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0038466149436))-π/2
    2×atan(2.7287581482277)-π/2
    2×1.21952748742669-π/2
    2.43905497485338-1.57079632675     		φ = 0.86825865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04611530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.642212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86825865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.747556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66498 KachelY 44595 0.04611530 0.86825865 2.642212 49.747556
    Oben rechts KachelX + 1 66499 KachelY 44595 0.04616323 0.86825865 2.644958 49.747556
    Unten links KachelX 66498 KachelY + 1 44596 0.04611530 0.86822767 2.642212 49.745781
    Unten rechts KachelX + 1 66499 KachelY + 1 44596 0.04616323 0.86822767 2.644958 49.745781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86825865-0.86822767) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86825865-0.86822767) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04611530-0.04616323) × cos(0.86825865) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646156533108378 × 6371000     		do = 197.311670647743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04611530-0.04616323) × cos(0.86822767) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.64618017688641 × 6371000     		du = 197.3188905598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86825865)-sin(0.86822767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646156533108378-0.64618017688641)×R²
    abs(0.04616323-0.04611530)×2.36437780317678e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36437780317678e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36437780317678e-05×40589641000000     		ar = 38944.8233246782m²