Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6648 / 7703
↖ ↑ ↗
← S 82.804009°
E112.148438°		 ← 612.10 m → S 82.804009°
E112.192383°		 →
↑
611.87 m
↓
↑
611.87 m
↓
S 82.809512°
E112.148438°		 ← 611.64 m →
374 384 m²		 S 82.809512°
E112.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81158447265625 y=0.94036865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81158447265625 × 213)
    floor (0.81158447265625 × 8192)
    floor (6648.5)     		tx = 6648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94036865234375 × 213)
    floor (0.94036865234375 × 8192)
    floor (7703.5)     		ty = 7703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6648 / 7703 ti = "13/6648/7703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6648/7703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6648 ÷ 213
    6648 ÷ 8192     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7703 ÷ 213
    7703 ÷ 8192     		y = 0.9403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.880615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.76653435087268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76653435087268))-π/2
    2×atan(0.0628795460073161)-π/2
    2×0.0627968702192405-π/2
    0.125593740438481-1.57079632675     		φ = -1.44520259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44520259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.804009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6648 KachelY 7703 1.95735949 -1.44520259 112.148438 -82.804009
    Oben rechts KachelX + 1 6649 KachelY 7703 1.95812648 -1.44520259 112.192383 -82.804009
    Unten links KachelX 6648 KachelY + 1 7704 1.95735949 -1.44529863 112.148438 -82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 6649 KachelY + 1 7704 1.95812648 -1.44529863 112.192383 -82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44520259--1.44529863) × R
    9.60399999998529e-05 × 6371000     		dl = 611.870839999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44520259--1.44529863) × R
    9.60399999998529e-05 × 6371000     		dr = 611.870839999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95812648) × cos(-1.44520259) × R
    0.000766990000000023 × 0.125263815638081 × 6371000     		do = 612.1007945953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95812648) × cos(-1.44529863) × R
    0.000766990000000023 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 611.635189404498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44520259)-sin(-1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125263815638081-0.125168531522629)×R²
    abs(1.95812648-1.95735949)×9.52841154524819e-05×R²
    0.000766990000000023×9.52841154524819e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.52841154524819e-05×40589641000000     		ar = 374384.182520809m²