Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66477 / 44578
↖ ↑ ↗
← N 49.777717°
E  2.584534°		 ← 197.23 m → N 49.777717°
E  2.587280°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.775943°
E  2.584534°		 ← 197.24 m →
38 891 m²		 N 49.775943°
E  2.587280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507183074951172 y=0.340106964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507183074951172 × 217)
    floor (0.507183074951172 × 131072)
    floor (66477.5)     		tx = 66477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340106964111328 × 217)
    floor (0.340106964111328 × 131072)
    floor (44578.5)     		ty = 44578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66477 / 44578 ti = "17/66477/44578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66477/44578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66477 ÷ 217
    66477 ÷ 131072     		x = 0.507179260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44578 ÷ 217
    44578 ÷ 131072     		y = 0.340103149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507179260253906 × 2 - 1) × π
    0.0143585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04510862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340103149414062 × 2 - 1) × π
    0.319793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00466154223714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04510862} λ = 0.04510862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00466154223714))-π/2
    2×atan(2.73098279405935)-π/2
    2×1.21979069085347-π/2
    2.43958138170694-1.57079632675     		φ = 0.86878505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04510862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.584534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86878505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.777717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66477 KachelY 44578 0.04510862 0.86878505 2.584534 49.777717
    Oben rechts KachelX + 1 66478 KachelY 44578 0.04515656 0.86878505 2.587280 49.777717
    Unten links KachelX 66477 KachelY + 1 44579 0.04510862 0.86875410 2.584534 49.775943
    Unten rechts KachelX + 1 66478 KachelY + 1 44579 0.04515656 0.86875410 2.587280 49.775943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86878505-0.86875410) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86878505-0.86875410) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04510862-0.04515656) × cos(0.86878505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.64575469253828 × 6371000     		do = 197.230104826961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04510862-0.04515656) × cos(0.86875410) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645778323944918 × 6371000     		du = 197.237322466821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86878505)-sin(0.86875410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64575469253828-0.645778323944918)×R²
    abs(0.04515656-0.04510862)×2.36314066379695e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36314066379695e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36314066379695e-05×40589641000000     		ar = 38891.0268826693m²