Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6647 / 7688
↖ ↑ ↗
← S 82.720964°
E112.104492°		 ← 619.13 m → S 82.720964°
E112.148438°		 →
↑
618.88 m
↓
↑
618.88 m
↓
S 82.726530°
E112.104492°		 ← 618.66 m →
383 024 m²		 S 82.726530°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81146240234375 y=0.93853759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81146240234375 × 213)
    floor (0.81146240234375 × 8192)
    floor (6647.5)     		tx = 6647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93853759765625 × 213)
    floor (0.93853759765625 × 8192)
    floor (7688.5)     		ty = 7688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6647 / 7688 ti = "13/6647/7688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6647/7688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6647 ÷ 213
    6647 ÷ 8192     		x = 0.8114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7688 ÷ 213
    7688 ÷ 8192     		y = 0.9384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8114013671875 × 2 - 1) × π
    0.622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95659249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    -0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95659249} λ = 1.95659249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75502949496387))-π/2
    2×atan(0.0636071435507032)-π/2
    2×0.0635215691379293-π/2
    0.127043138275859-1.57079632675     		φ = -1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95659249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6647 KachelY 7688 1.95659249 -1.44375319 112.104492 -82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 6648 KachelY 7688 1.95735949 -1.44375319 112.148438 -82.720964
    Unten links KachelX 6647 KachelY + 1 7689 1.95659249 -1.44385033 112.104492 -82.726530
    Unten rechts KachelX + 1 6648 KachelY + 1 7689 1.95735949 -1.44385033 112.148438 -82.726530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375319--1.44385033) × R
    9.71400000000511e-05 × 6371000     		dl = 618.878940000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375319--1.44385033) × R
    9.71400000000511e-05 × 6371000     		dr = 618.878940000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95659249-1.95735949) × cos(-1.44375319) × R
    0.000766999999999962 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 619.134919330024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95659249-1.95735949) × cos(-1.44385033) × R
    0.000766999999999962 × 0.126605309581407 × 6371000     		du = 618.66406177216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375319)-sin(-1.44385033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126605309581407)×R²
    abs(1.95735949-1.95659249)×9.63577336484667e-05×R²
    0.000766999999999962×9.63577336484667e-05×6371000²
    0.000766999999999962×9.63577336484667e-05×40589641000000     		ar = 383023.860980237m²