Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6647 / 7686
↖ ↑ ↗
← S 82.709820°
E112.104492°		 ← 620.08 m → S 82.709820°
E112.148438°		 →
↑
619.83 m
↓
↑
619.83 m
↓
S 82.715394°
E112.104492°		 ← 619.61 m →
384 199 m²		 S 82.715394°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81146240234375 y=0.93829345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81146240234375 × 213)
    floor (0.81146240234375 × 8192)
    floor (6647.5)     		tx = 6647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93829345703125 × 213)
    floor (0.93829345703125 × 8192)
    floor (7686.5)     		ty = 7686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6647 / 7686 ti = "13/6647/7686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6647/7686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6647 ÷ 213
    6647 ÷ 8192     		x = 0.8114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7686 ÷ 213
    7686 ÷ 8192     		y = 0.938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8114013671875 × 2 - 1) × π
    0.622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95659249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.87646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75349551417603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95659249} λ = 1.95659249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75349551417603))-π/2
    2×atan(0.0637047905620514)-π/2
    2×0.0636188220723228-π/2
    0.127237644144646-1.57079632675     		φ = -1.44355868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95659249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44355868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.709820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6647 KachelY 7686 1.95659249 -1.44355868 112.104492 -82.709820
    Oben rechts KachelX + 1 6648 KachelY 7686 1.95735949 -1.44355868 112.148438 -82.709820
    Unten links KachelX 6647 KachelY + 1 7687 1.95659249 -1.44365597 112.104492 -82.715394
    Unten rechts KachelX + 1 6648 KachelY + 1 7687 1.95735949 -1.44365597 112.148438 -82.715394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44355868--1.44365597) × R
    9.72900000000276e-05 × 6371000     		dl = 619.834590000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44355868--1.44365597) × R
    9.72900000000276e-05 × 6371000     		dr = 619.834590000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95659249-1.95735949) × cos(-1.44355868) × R
    0.000766999999999962 × 0.126894607335434 × 6371000     		do = 620.077731737188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95659249-1.95735949) × cos(-1.44365597) × R
    0.000766999999999962 × 0.126798103207408 × 6371000     		du = 619.606158814852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44355868)-sin(-1.44365597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126894607335434-0.126798103207408)×R²
    abs(1.95735949-1.95659249)×9.65041280263368e-05×R²
    0.000766999999999962×9.65041280263368e-05×6371000²
    0.000766999999999962×9.65041280263368e-05×40589641000000     		ar = 384199.47831993m²