Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66451 / 44583
↖ ↑ ↗
← N 49.768848°
E  2.513122°		 ← 197.27 m → N 49.768848°
E  2.515869°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.767074°
E  2.513122°		 ← 197.27 m →
38 911 m²		 N 49.767074°
E  2.515869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506984710693359 y=0.340145111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506984710693359 × 217)
    floor (0.506984710693359 × 131072)
    floor (66451.5)     		tx = 66451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340145111083984 × 217)
    floor (0.340145111083984 × 131072)
    floor (44583.5)     		ty = 44583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66451 / 44583 ti = "17/66451/44583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66451/44583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66451 ÷ 217
    66451 ÷ 131072     		x = 0.506980895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44583 ÷ 217
    44583 ÷ 131072     		y = 0.340141296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506980895996094 × 2 - 1) × π
    0.0139617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04386226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340141296386719 × 2 - 1) × π
    0.319717407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00442185773904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04386226} λ = 0.04386226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00442185773904))-π/2
    2×atan(2.73032829825842)-π/2
    2×1.21971329507766-π/2
    2.43942659015532-1.57079632675     		φ = 0.86863026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04386226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.513122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86863026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.768848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66451 KachelY 44583 0.04386226 0.86863026 2.513122 49.768848
    Oben rechts KachelX + 1 66452 KachelY 44583 0.04391020 0.86863026 2.515869 49.768848
    Unten links KachelX 66451 KachelY + 1 44584 0.04386226 0.86859930 2.513122 49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 66452 KachelY + 1 44584 0.04391020 0.86859930 2.515869 49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86863026-0.86859930) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86863026-0.86859930) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04386226-0.04391020) × cos(0.86863026) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.645872873923116 × 6371000     		do = 197.266200463908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04386226-0.04391020) × cos(0.86859930) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 197.27341949048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86863026)-sin(0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645872873923116-0.645896509870014)×R²
    abs(0.04391020-0.04386226)×2.36359468984704e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.36359468984704e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.36359468984704e-05×40589641000000     		ar = 38910.7125049859m²