Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66443 / 66955
↖ ↑ ↗
← S  3.894398°
E  2.491150°		 ← 304.66 m → S  3.894398°
E  2.493896°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
S  3.897138°
E  2.491150°		 ← 304.66 m →
92 836 m²		 S  3.897138°
E  2.493896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506923675537109 y=0.510829925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506923675537109 × 217)
    floor (0.506923675537109 × 131072)
    floor (66443.5)     		tx = 66443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510829925537109 × 217)
    floor (0.510829925537109 × 131072)
    floor (66955.5)     		ty = 66955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66443 / 66955 ti = "17/66443/66955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66443/66955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66443 ÷ 217
    66443 ÷ 131072     		x = 0.506919860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66955 ÷ 217
    66955 ÷ 131072     		y = 0.510826110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506919860839844 × 2 - 1) × π
    0.0138397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04347877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510826110839844 × 2 - 1) × π
    -0.0216522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0680224605608597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04347877} λ = 0.04347877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0680224605608597))-π/2
    2×atan(0.934239489798643)-π/2
    2×0.75141313145705-π/2
    1.5028262629141-1.57079632675     		φ = -0.06797006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04347877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.491150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06797006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.894398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66443 KachelY 66955 0.04347877 -0.06797006 2.491150 -3.894398
    Oben rechts KachelX + 1 66444 KachelY 66955 0.04352670 -0.06797006 2.493896 -3.894398
    Unten links KachelX 66443 KachelY + 1 66956 0.04347877 -0.06801789 2.491150 -3.897138
    Unten rechts KachelX + 1 66444 KachelY + 1 66956 0.04352670 -0.06801789 2.493896 -3.897138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06797006--0.06801789) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06797006--0.06801789) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04347877-0.04352670) × cos(-0.06797006) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997690924657543 × 6371000     		do = 304.656926066014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04347877-0.04352670) × cos(-0.06801789) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997687675011021 × 6371000     		du = 304.655933747356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06797006)-sin(-0.06801789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997690924657543-0.997687675011021)×R²
    abs(0.04352670-0.04347877)×3.24964652220761e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.24964652220761e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.24964652220761e-06×40589641000000     		ar = 92836.4092950516m²