Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6644 / 7708
↖ ↑ ↗
← S 82.831480°
E111.972656°		 ← 609.78 m → S 82.831480°
E112.016601°		 →
↑
609.58 m
↓
↑
609.58 m
↓
S 82.836962°
E111.972656°		 ← 609.31 m →
371 564 m²		 S 82.836962°
E112.016601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81109619140625 y=0.94097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81109619140625 × 213)
    floor (0.81109619140625 × 8192)
    floor (6644.5)     		tx = 6644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94097900390625 × 213)
    floor (0.94097900390625 × 8192)
    floor (7708.5)     		ty = 7708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6644 / 7708 ti = "13/6644/7708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6644/7708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6644 ÷ 213
    6644 ÷ 8192     		x = 0.81103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7708 ÷ 213
    7708 ÷ 8192     		y = 0.94091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81103515625 × 2 - 1) × π
    0.6220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95429152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94091796875 × 2 - 1) × π
    -0.8818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.77036930284229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95429152} λ = 1.95429152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77036930284229))-π/2
    2×atan(0.0626388677582385)-π/2
    2×0.0625571362159476-π/2
    0.125114272431895-1.57079632675     		φ = -1.44568205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95429152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44568205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.831480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6644 KachelY 7708 1.95429152 -1.44568205 111.972656 -82.831480
    Oben rechts KachelX + 1 6645 KachelY 7708 1.95505851 -1.44568205 112.016601 -82.831480
    Unten links KachelX 6644 KachelY + 1 7709 1.95429152 -1.44577773 111.972656 -82.836962
    Unten rechts KachelX + 1 6645 KachelY + 1 7709 1.95505851 -1.44577773 112.016601 -82.836962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44568205--1.44577773) × R
    9.56800000000424e-05 × 6371000     		dl = 609.57728000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44568205--1.44577773) × R
    9.56800000000424e-05 × 6371000     		dr = 609.57728000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95429152-1.95505851) × cos(-1.44568205) × R
    0.000766990000000023 × 0.12478811774022 × 6371000     		do = 609.776300009336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95429152-1.95505851) × cos(-1.44577773) × R
    0.000766990000000023 × 0.124693185060182 × 6371000     		du = 609.312412105326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44568205)-sin(-1.44577773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12478811774022-0.124693185060182)×R²
    abs(1.95505851-1.95429152)×9.49326800383787e-05×R²
    0.000766990000000023×9.49326800383787e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.49326800383787e-05×40589641000000     		ar = 371564.390885697m²