Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6644 / 7684
↖ ↑ ↗
← S 82.698659°
E111.972656°		 ← 621.01 m → S 82.698659°
E112.016601°		 →
↑
620.79 m
↓
↑
620.79 m
↓
S 82.704242°
E111.972656°		 ← 620.54 m →
385 373 m²		 S 82.704242°
E112.016601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81109619140625 y=0.93804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81109619140625 × 213)
    floor (0.81109619140625 × 8192)
    floor (6644.5)     		tx = 6644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93804931640625 × 213)
    floor (0.93804931640625 × 8192)
    floor (7684.5)     		ty = 7684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6644 / 7684 ti = "13/6644/7684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6644/7684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6644 ÷ 213
    6644 ÷ 8192     		x = 0.81103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7684 ÷ 213
    7684 ÷ 8192     		y = 0.93798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81103515625 × 2 - 1) × π
    0.6220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95429152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93798828125 × 2 - 1) × π
    -0.8759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75196153338818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95429152} λ = 1.95429152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75196153338818))-π/2
    2×atan(0.0638025874769843)-π/2
    2×0.0637162230975115-π/2
    0.127432446195023-1.57079632675     		φ = -1.44336388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95429152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44336388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.698659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6644 KachelY 7684 1.95429152 -1.44336388 111.972656 -82.698659
    Oben rechts KachelX + 1 6645 KachelY 7684 1.95505851 -1.44336388 112.016601 -82.698659
    Unten links KachelX 6644 KachelY + 1 7685 1.95429152 -1.44346132 111.972656 -82.704242
    Unten rechts KachelX + 1 6645 KachelY + 1 7685 1.95505851 -1.44346132 112.016601 -82.704242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44336388--1.44346132) × R
    9.74400000000042e-05 × 6371000     		dl = 620.790240000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44336388--1.44346132) × R
    9.74400000000042e-05 × 6371000     		dr = 620.790240000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95429152-1.95505851) × cos(-1.44336388) × R
    0.000766990000000023 × 0.127087830203396 × 6371000     		do = 621.013829529573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95429152-1.95505851) × cos(-1.44346132) × R
    0.000766990000000023 × 0.126991179695629 × 6371000     		du = 620.541547471895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44336388)-sin(-1.44346132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127087830203396-0.126991179695629)×R²
    abs(1.95505851-1.95429152)×9.66505077669988e-05×R²
    0.000766990000000023×9.66505077669988e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.66505077669988e-05×40589641000000     		ar = 385372.730533191m²