Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6642 / 7666
↖ ↑ ↗
← S 82.597439°
E111.884765°		 ← 629.58 m → S 82.597439°
E111.928711°		 →
↑
629.33 m
↓
↑
629.33 m
↓
S 82.603098°
E111.884765°		 ← 629.10 m →
396 058 m²		 S 82.603098°
E111.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81085205078125 y=0.93585205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81085205078125 × 213)
    floor (0.81085205078125 × 8192)
    floor (6642.5)     		tx = 6642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93585205078125 × 213)
    floor (0.93585205078125 × 8192)
    floor (7666.5)     		ty = 7666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6642 / 7666 ti = "13/6642/7666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6642/7666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6642 ÷ 213
    6642 ÷ 8192     		x = 0.810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7666 ÷ 213
    7666 ÷ 8192     		y = 0.935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810791015625 × 2 - 1) × π
    0.62158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95275754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.87158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.73815570629761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95275754} λ = 1.95275754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.73815570629761))-π/2
    2×atan(0.0646895434602574)-π/2
    2×0.0645995331114613-π/2
    0.129199066222923-1.57079632675     		φ = -1.44159726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95275754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.884765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44159726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.597439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6642 KachelY 7666 1.95275754 -1.44159726 111.884765 -82.597439
    Oben rechts KachelX + 1 6643 KachelY 7666 1.95352453 -1.44159726 111.928711 -82.597439
    Unten links KachelX 6642 KachelY + 1 7667 1.95275754 -1.44169604 111.884765 -82.603098
    Unten rechts KachelX + 1 6643 KachelY + 1 7667 1.95352453 -1.44169604 111.928711 -82.603098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44159726--1.44169604) × R
    9.8780000000076e-05 × 6371000     		dl = 629.327380000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44159726--1.44169604) × R
    9.8780000000076e-05 × 6371000     		dr = 629.327380000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95275754-1.95352453) × cos(-1.44159726) × R
    0.000766990000000023 × 0.128839926279253 × 6371000     		do = 629.575435247684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95275754-1.95352453) × cos(-1.44169604) × R
    0.000766990000000023 × 0.128741968942233 × 6371000     		du = 629.096767377628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44159726)-sin(-1.44169604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128839926279253-0.128741968942233)×R²
    abs(1.95352453-1.95275754)×9.79573370202269e-05×R²
    0.000766990000000023×9.79573370202269e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.79573370202269e-05×40589641000000     		ar = 396058.440102242m²