Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66414 / 64174
↖ ↑ ↗
← N  3.738190°
E  2.411499°		 ← 304.71 m → N  3.738190°
E  2.414245°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
N  3.735449°
E  2.411499°		 ← 304.71 m →
92 854 m²		 N  3.735449°
E  2.414245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506702423095703 y=0.489612579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506702423095703 × 217)
    floor (0.506702423095703 × 131072)
    floor (66414.5)     		tx = 66414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489612579345703 × 217)
    floor (0.489612579345703 × 131072)
    floor (64174.5)     		ty = 64174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66414 / 64174 ti = "17/66414/64174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66414/64174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66414 ÷ 217
    66414 ÷ 131072     		x = 0.506698608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64174 ÷ 217
    64174 ÷ 131072     		y = 0.489608764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506698608398438 × 2 - 1) × π
    0.013397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04208860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489608764648438 × 2 - 1) × π
    0.020782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0652900572825165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04208860} λ = 0.04208860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0652900572825165))-π/2
    2×atan(1.06746860652693)-π/2
    2×0.818020023566173-π/2
    1.63604004713235-1.57079632675     		φ = 0.06524372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04208860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.411499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06524372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.738190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66414 KachelY 64174 0.04208860 0.06524372 2.411499 3.738190
    Oben rechts KachelX + 1 66415 KachelY 64174 0.04213653 0.06524372 2.414245 3.738190
    Unten links KachelX 66414 KachelY + 1 64175 0.04208860 0.06519589 2.411499 3.735449
    Unten rechts KachelX + 1 66415 KachelY + 1 64175 0.04213653 0.06519589 2.414245 3.735449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06524372-0.06519589) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06524372-0.06519589) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04208860-0.04213653) × cos(0.06524372) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997872383387369 × 6371000     		do = 304.712336672115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04208860-0.04213653) × cos(0.06519589) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997875500639608 × 6371000     		du = 304.713288562587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06524372)-sin(0.06519589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997872383387369-0.997875500639608)×R²
    abs(0.04213653-0.04208860)×3.11725223978154e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.11725223978154e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.11725223978154e-06×40589641000000     		ar = 92853.5905126371m²