Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66411 / 64167
↖ ↑ ↗
← N  3.757375°
E  2.403259°		 ← 304.71 m → N  3.757375°
E  2.406006°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
N  3.754634°
E  2.403259°		 ← 304.71 m →
92 852 m²		 N  3.754634°
E  2.406006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506679534912109 y=0.489559173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506679534912109 × 217)
    floor (0.506679534912109 × 131072)
    floor (66411.5)     		tx = 66411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489559173583984 × 217)
    floor (0.489559173583984 × 131072)
    floor (64167.5)     		ty = 64167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66411 / 64167 ti = "17/66411/64167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66411/64167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66411 ÷ 217
    66411 ÷ 131072     		x = 0.506675720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64167 ÷ 217
    64167 ÷ 131072     		y = 0.489555358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506675720214844 × 2 - 1) × π
    0.0133514404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04194479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489555358886719 × 2 - 1) × π
    0.0208892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0656256155798569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04194479} λ = 0.04194479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0656256155798569))-π/2
    2×atan(1.06782686457987)-π/2
    2×0.818187443910627-π/2
    1.63637488782125-1.57079632675     		φ = 0.06557856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04194479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.403259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06557856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.757375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66411 KachelY 64167 0.04194479 0.06557856 2.403259 3.757375
    Oben rechts KachelX + 1 66412 KachelY 64167 0.04199272 0.06557856 2.406006 3.757375
    Unten links KachelX 66411 KachelY + 1 64168 0.04194479 0.06553073 2.403259 3.754634
    Unten rechts KachelX + 1 66412 KachelY + 1 64168 0.04199272 0.06553073 2.406006 3.754634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06557856-0.06553073) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06557856-0.06553073) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04194479-0.04199272) × cos(0.06557856) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.997850496736581 × 6371000     		do = 304.705653319957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04194479-0.04199272) × cos(0.06553073) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.997853629969993 × 6371000     		du = 304.706610090472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06557856)-sin(0.06553073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997850496736581-0.997853629969993)×R²
    abs(0.04199272-0.04194479)×3.13323341216698e-06×R²
    4.79299999999946e-05×3.13323341216698e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×3.13323341216698e-06×40589641000000     		ar = 92851.5546721403m²