Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66407 / 64171
↖ ↑ ↗
← N  3.746412°
E  2.392273°		 ← 304.77 m → N  3.746412°
E  2.395020°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
N  3.743671°
E  2.392273°		 ← 304.77 m →
92 872 m²		 N  3.743671°
E  2.395020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506649017333984 y=0.489589691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506649017333984 × 217)
    floor (0.506649017333984 × 131072)
    floor (66407.5)     		tx = 66407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489589691162109 × 217)
    floor (0.489589691162109 × 131072)
    floor (64171.5)     		ty = 64171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66407 / 64171 ti = "17/66407/64171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66407/64171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66407 ÷ 217
    66407 ÷ 131072     		x = 0.506645202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64171 ÷ 217
    64171 ÷ 131072     		y = 0.489585876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506645202636719 × 2 - 1) × π
    0.0132904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04175304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489585876464844 × 2 - 1) × π
    0.0208282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0654338679813767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04175304} λ = 0.04175304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0654338679813767))-π/2
    2×atan(1.06762213097221)-π/2
    2×0.818091775591962-π/2
    1.63618355118392-1.57079632675     		φ = 0.06538722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04175304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.392273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06538722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.746412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66407 KachelY 64171 0.04175304 0.06538722 2.392273 3.746412
    Oben rechts KachelX + 1 66408 KachelY 64171 0.04180098 0.06538722 2.395020 3.746412
    Unten links KachelX 66407 KachelY + 1 64172 0.04175304 0.06533939 2.392273 3.743671
    Unten rechts KachelX + 1 66408 KachelY + 1 64172 0.04180098 0.06533939 2.395020 3.743671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06538722-0.06533939) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06538722-0.06533939) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04175304-0.04180098) × cos(0.06538722) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.997863017280222 × 6371000     		do = 304.773050471465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04175304-0.04180098) × cos(0.06533939) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.997866141381443 × 6371000     		du = 304.774004652392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06538722)-sin(0.06533939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997863017280222-0.997866141381443)×R²
    abs(0.04180098-0.04175304)×3.12410122016438e-06×R²
    4.79400000000033e-05×3.12410122016438e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×3.12410122016438e-06×40589641000000     		ar = 92872.0918698669m²