Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6640 / 7664
↖ ↑ ↗
← S 82.586106°
E111.796875°		 ← 630.53 m → S 82.586106°
E111.840820°		 →
↑
630.28 m
↓
↑
630.28 m
↓
S 82.591774°
E111.796875°		 ← 630.05 m →
397 264 m²		 S 82.591774°
E111.840820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81060791015625 y=0.93560791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81060791015625 × 213)
    floor (0.81060791015625 × 8192)
    floor (6640.5)     		tx = 6640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93560791015625 × 213)
    floor (0.93560791015625 × 8192)
    floor (7664.5)     		ty = 7664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6640 / 7664 ti = "13/6640/7664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6640/7664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6640 ÷ 213
    6640 ÷ 8192     		x = 0.810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7664 ÷ 213
    7664 ÷ 8192     		y = 0.935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810546875 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.935546875 × 2 - 1) × π
    -0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95122356} λ = 1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.73662172550977))-π/2
    2×atan(0.0647888521264191)-π/2
    2×0.0646984272958243-π/2
    0.129396854591649-1.57079632675     		φ = -1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6640 KachelY 7664 1.95122356 -1.44139947 111.796875 -82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 6641 KachelY 7664 1.95199055 -1.44139947 111.840820 -82.586106
    Unten links KachelX 6640 KachelY + 1 7665 1.95122356 -1.44149840 111.796875 -82.591774
    Unten rechts KachelX + 1 6641 KachelY + 1 7665 1.95199055 -1.44149840 111.840820 -82.591774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44139947--1.44149840) × R
    9.89300000000526e-05 × 6371000     		dl = 630.283030000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44139947--1.44149840) × R
    9.89300000000526e-05 × 6371000     		dr = 630.283030000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95122356-1.95199055) × cos(-1.44139947) × R
    0.000766990000000023 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 630.533867051513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95122356-1.95199055) × cos(-1.44149840) × R
    0.000766990000000023 × 0.128937961691333 × 6371000     		du = 630.054484630993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44139947)-sin(-1.44149840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.128937961691333)×R²
    abs(1.95199055-1.95122356)×9.8103566723573e-05×R²
    0.000766990000000023×9.8103566723573e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.8103566723573e-05×40589641000000     		ar = 397263.723264788m²