Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66398 / 44476
↖ ↑ ↗
← N 49.958288°
E  2.367554°		 ← 196.45 m → N 49.958288°
E  2.370300°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.956521°
E  2.367554°		 ← 196.46 m →
38 600 m²		 N 49.956521°
E  2.370300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506580352783203 y=0.339328765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506580352783203 × 217)
    floor (0.506580352783203 × 131072)
    floor (66398.5)     		tx = 66398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339328765869141 × 217)
    floor (0.339328765869141 × 131072)
    floor (44476.5)     		ty = 44476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66398 / 44476 ti = "17/66398/44476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66398/44476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66398 ÷ 217
    66398 ÷ 131072     		x = 0.506576538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44476 ÷ 217
    44476 ÷ 131072     		y = 0.339324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506576538085938 × 2 - 1) × π
    0.013153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04132161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339324951171875 × 2 - 1) × π
    0.32135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00955110599838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04132161} λ = 0.04132161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00955110599838))-π/2
    2×atan(2.74436880777635)-π/2
    2×1.22136647425357-π/2
    2.44273294850713-1.57079632675     		φ = 0.87193662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04132161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.367554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87193662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.958288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66398 KachelY 44476 0.04132161 0.87193662 2.367554 49.958288
    Oben rechts KachelX + 1 66399 KachelY 44476 0.04136954 0.87193662 2.370300 49.958288
    Unten links KachelX 66398 KachelY + 1 44477 0.04132161 0.87190578 2.367554 49.956521
    Unten rechts KachelX + 1 66399 KachelY + 1 44477 0.04136954 0.87190578 2.370300 49.956521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87193662-0.87190578) × R
    3.08400000000875e-05 × 6371000     		dl = 196.481640000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87193662-0.87190578) × R
    3.08400000000875e-05 × 6371000     		dr = 196.481640000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04132161-0.04136954) × cos(0.87193662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.64334512424959 × 6371000     		do = 196.453173131464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04132161-0.04136954) × cos(0.87190578) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.643368734316331 × 6371000     		du = 196.460382749372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87193662)-sin(0.87190578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64334512424959-0.643368734316331)×R²
    abs(0.04136954-0.04132161)×2.36100667405648e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36100667405648e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36100667405648e-05×40589641000000     		ar = 38600.1499219955m²