Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66380 / 44318
↖ ↑ ↗
← N 50.236666°
E  2.318115°		 ← 195.36 m → N 50.236666°
E  2.320862°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.234909°
E  2.318115°		 ← 195.36 m →
38 160 m²		 N 50.234909°
E  2.320862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506443023681641 y=0.338123321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506443023681641 × 217)
    floor (0.506443023681641 × 131072)
    floor (66380.5)     		tx = 66380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338123321533203 × 217)
    floor (0.338123321533203 × 131072)
    floor (44318.5)     		ty = 44318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66380 / 44318 ti = "17/66380/44318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66380/44318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66380 ÷ 217
    66380 ÷ 131072     		x = 0.506439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44318 ÷ 217
    44318 ÷ 131072     		y = 0.338119506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506439208984375 × 2 - 1) × π
    0.01287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04045874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338119506835938 × 2 - 1) × π
    0.323760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01712513613835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04045874} λ = 0.04045874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01712513613835))-π/2
    2×atan(2.76523365559055)-π/2
    2×1.22379577238336-π/2
    2.44759154476672-1.57079632675     		φ = 0.87679522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04045874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.318115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87679522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.236666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66380 KachelY 44318 0.04045874 0.87679522 2.318115 50.236666
    Oben rechts KachelX + 1 66381 KachelY 44318 0.04050668 0.87679522 2.320862 50.236666
    Unten links KachelX 66380 KachelY + 1 44319 0.04045874 0.87676456 2.318115 50.234909
    Unten rechts KachelX + 1 66381 KachelY + 1 44319 0.04050668 0.87676456 2.320862 50.234909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87679522-0.87676456) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87679522-0.87676456) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04045874-0.04050668) × cos(0.87679522) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.639617916550547 × 6371000     		do = 195.355775479722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04045874-0.04050668) × cos(0.87676456) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.639641484377143 × 6371000     		du = 195.362973700601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87679522)-sin(0.87676456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639617916550547-0.639641484377143)×R²
    abs(0.04050668-0.04045874)×2.35678265964046e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35678265964046e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35678265964046e-05×40589641000000     		ar = 38160.4960882119m²