Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66364 / 44316
↖ ↑ ↗
← N 50.240179°
E  2.274170°		 ← 195.34 m → N 50.240179°
E  2.276917°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.238422°
E  2.274170°		 ← 195.35 m →
38 158 m²		 N 50.238422°
E  2.276917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506320953369141 y=0.338108062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506320953369141 × 217)
    floor (0.506320953369141 × 131072)
    floor (66364.5)     		tx = 66364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338108062744141 × 217)
    floor (0.338108062744141 × 131072)
    floor (44316.5)     		ty = 44316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66364 / 44316 ti = "17/66364/44316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66364/44316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66364 ÷ 217
    66364 ÷ 131072     		x = 0.506317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44316 ÷ 217
    44316 ÷ 131072     		y = 0.338104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506317138671875 × 2 - 1) × π
    0.01263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03969175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338104248046875 × 2 - 1) × π
    0.32379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01722100993759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03969175} λ = 0.03969175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01722100993759))-π/2
    2×atan(2.76549878175602)-π/2
    2×1.22382643255347-π/2
    2.44765286510694-1.57079632675     		φ = 0.87685654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03969175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87685654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.240179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66364 KachelY 44316 0.03969175 0.87685654 2.274170 50.240179
    Oben rechts KachelX + 1 66365 KachelY 44316 0.03973969 0.87685654 2.276917 50.240179
    Unten links KachelX 66364 KachelY + 1 44317 0.03969175 0.87682588 2.274170 50.238422
    Unten rechts KachelX + 1 66365 KachelY + 1 44317 0.03973969 0.87682588 2.276917 50.238422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87685654-0.87682588) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dl = 195.334860000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87685654-0.87682588) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dr = 195.334860000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03969175-0.03973969) × cos(0.87685654) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		do = 195.341378487048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03969175-0.03973969) × cos(0.87682588) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.639594348122687 × 6371000     		du = 195.348577075202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87685654)-sin(0.87682588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639570779093585-0.639594348122687)×R²
    abs(0.03973969-0.03969175)×2.35690291016111e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35690291016111e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35690291016111e-05×40589641000000     		ar = 38157.6838896299m²