Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66360 / 44232
↖ ↑ ↗
← N 50.387508°
E  2.263184°		 ← 194.70 m → N 50.387508°
E  2.265930°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 50.385757°
E  2.263184°		 ← 194.70 m →
37 908 m²		 N 50.385757°
E  2.265930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506290435791016 y=0.337467193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506290435791016 × 217)
    floor (0.506290435791016 × 131072)
    floor (66360.5)     		tx = 66360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337467193603516 × 217)
    floor (0.337467193603516 × 131072)
    floor (44232.5)     		ty = 44232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66360 / 44232 ti = "17/66360/44232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66360/44232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66360 ÷ 217
    66360 ÷ 131072     		x = 0.50628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44232 ÷ 217
    44232 ÷ 131072     		y = 0.33746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50628662109375 × 2 - 1) × π
    0.0125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03950001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33746337890625 × 2 - 1) × π
    0.3250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02124770950568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03950001} λ = 0.03950001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02124770950568))-π/2
    2×atan(2.77665706495615)-π/2
    2×1.22511211990651-π/2
    2.45022423981302-1.57079632675     		φ = 0.87942791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03950001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.263184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87942791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.387508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66360 KachelY 44232 0.03950001 0.87942791 2.263184 50.387508
    Oben rechts KachelX + 1 66361 KachelY 44232 0.03954794 0.87942791 2.265930 50.387508
    Unten links KachelX 66360 KachelY + 1 44233 0.03950001 0.87939735 2.263184 50.385757
    Unten rechts KachelX + 1 66361 KachelY + 1 44233 0.03954794 0.87939735 2.265930 50.385757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87942791-0.87939735) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87942791-0.87939735) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03950001-0.03954794) × cos(0.87942791) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.637591971914127 × 6371000     		do = 194.696378855379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03950001-0.03954794) × cos(0.87939735) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.637615514253323 × 6371000     		du = 194.703567791867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87942791)-sin(0.87939735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637591971914127-0.637615514253323)×R²
    abs(0.03954794-0.03950001)×2.3542339195437e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.3542339195437e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.3542339195437e-05×40589641000000     		ar = 37907.6486809668m²