Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66322 / 66769
↖ ↑ ↗
← S  3.384565°
E  2.158813°		 ← 304.89 m → S  3.384565°
E  2.161560°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.387308°
E  2.158813°		 ← 304.89 m →
92 967 m²		 S  3.387308°
E  2.161560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506000518798828 y=0.509410858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506000518798828 × 217)
    floor (0.506000518798828 × 131072)
    floor (66322.5)     		tx = 66322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509410858154297 × 217)
    floor (0.509410858154297 × 131072)
    floor (66769.5)     		ty = 66769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66322 / 66769 ti = "17/66322/66769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66322/66769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66322 ÷ 217
    66322 ÷ 131072     		x = 0.505996704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66769 ÷ 217
    66769 ÷ 131072     		y = 0.509407043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505996704101562 × 2 - 1) × π
    0.011993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03767840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509407043457031 × 2 - 1) × π
    -0.0188140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0591061972315292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03767840} λ = 0.03767840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0591061972315292))-π/2
    2×atan(0.942606661623737)-π/2
    2×0.755862257269389-π/2
    1.51172451453878-1.57079632675     		φ = -0.05907181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03767840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.158813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05907181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.384565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66322 KachelY 66769 0.03767840 -0.05907181 2.158813 -3.384565
    Oben rechts KachelX + 1 66323 KachelY 66769 0.03772634 -0.05907181 2.161560 -3.384565
    Unten links KachelX 66322 KachelY + 1 66770 0.03767840 -0.05911967 2.158813 -3.387308
    Unten rechts KachelX + 1 66323 KachelY + 1 66770 0.03772634 -0.05911967 2.161560 -3.387308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05907181--0.05911967) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05907181--0.05911967) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03767840-0.03772634) × cos(-0.05907181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99825576792523 × 6371000     		do = 304.893006627808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03767840-0.03772634) × cos(-0.05911967) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998252941249054 × 6371000     		du = 304.892143288145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05907181)-sin(-0.05911967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99825576792523-0.998252941249054)×R²
    abs(0.03772634-0.03767840)×2.82667617557131e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.82667617557131e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.82667617557131e-06×40589641000000     		ar = 92966.6426971905m²