Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66321 / 66768
↖ ↑ ↗
← S  3.381824°
E  2.156067°		 ← 304.83 m → S  3.381824°
E  2.158813°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.384565°
E  2.156067°		 ← 304.83 m →
92 928 m²		 S  3.384565°
E  2.158813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505992889404297 y=0.509403228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505992889404297 × 217)
    floor (0.505992889404297 × 131072)
    floor (66321.5)     		tx = 66321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509403228759766 × 217)
    floor (0.509403228759766 × 131072)
    floor (66768.5)     		ty = 66768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66321 / 66768 ti = "17/66321/66768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66321/66768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66321 ÷ 217
    66321 ÷ 131072     		x = 0.505989074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66768 ÷ 217
    66768 ÷ 131072     		y = 0.5093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505989074707031 × 2 - 1) × π
    0.0119781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03763047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0590582603319092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03763047} λ = 0.03763047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0590582603319092))-π/2
    2×atan(0.942651848347703)-π/2
    2×0.755886183946505-π/2
    1.51177236789301-1.57079632675     		φ = -0.05902396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03763047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.156067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05902396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.381824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66321 KachelY 66768 0.03763047 -0.05902396 2.156067 -3.381824
    Oben rechts KachelX + 1 66322 KachelY 66768 0.03767840 -0.05902396 2.158813 -3.381824
    Unten links KachelX 66321 KachelY + 1 66769 0.03763047 -0.05907181 2.156067 -3.384565
    Unten rechts KachelX + 1 66322 KachelY + 1 66769 0.03767840 -0.05907181 2.158813 -3.384565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05902396--0.05907181) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05902396--0.05907181) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03763047-0.03767840) × cos(-0.05902396) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998258591724924 × 6371000     		do = 304.830270034074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03763047-0.03767840) × cos(-0.05907181) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99825576792523 × 6371000     		du = 304.829407752867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05902396)-sin(-0.05907181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998258591724924-0.99825576792523)×R²
    abs(0.03767840-0.03763047)×2.82379969440694e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.82379969440694e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.82379969440694e-06×40589641000000     		ar = 92928.0927545299m²