Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6632 / 7704
↖ ↑ ↗
← S 82.809512°
E111.445313°		 ← 611.64 m → S 82.809512°
E111.489258°		 →
↑
611.36 m
↓
↑
611.36 m
↓
S 82.815010°
E111.445313°		 ← 611.17 m →
373 788 m²		 S 82.815010°
E111.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80963134765625 y=0.94049072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80963134765625 × 213)
    floor (0.80963134765625 × 8192)
    floor (6632.5)     		tx = 6632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94049072265625 × 213)
    floor (0.94049072265625 × 8192)
    floor (7704.5)     		ty = 7704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6632 / 7704 ti = "13/6632/7704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6632/7704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6632 ÷ 213
    6632 ÷ 8192     		x = 0.8095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7704 ÷ 213
    7704 ÷ 8192     		y = 0.9404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8095703125 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94508764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9404296875 × 2 - 1) × π
    -0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94508764} λ = 1.94508764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7673013412666))-π/2
    2×atan(0.0628313364900361)-π/2
    2×0.0627488504189086-π/2
    0.125497700837817-1.57079632675     		φ = -1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94508764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.445313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6632 KachelY 7704 1.94508764 -1.44529863 111.445313 -82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 6633 KachelY 7704 1.94585463 -1.44529863 111.489258 -82.809512
    Unten links KachelX 6632 KachelY + 1 7705 1.94508764 -1.44539459 111.445313 -82.815010
    Unten rechts KachelX + 1 6633 KachelY + 1 7705 1.94585463 -1.44539459 111.489258 -82.815010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44529863--1.44539459) × R
    9.59600000001171e-05 × 6371000     		dl = 611.361160000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44529863--1.44539459) × R
    9.59600000001171e-05 × 6371000     		dr = 611.361160000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94508764-1.94585463) × cos(-1.44529863) × R
    0.000766990000000023 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 611.635189404498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94508764-1.94585463) × cos(-1.44539459) × R
    0.000766990000000023 × 0.125073325624462 × 6371000     		du = 611.169966421937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44529863)-sin(-1.44539459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.125073325624462)×R²
    abs(1.94585463-1.94508764)×9.52058981669446e-05×R²
    0.000766990000000023×9.52058981669446e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.52058981669446e-05×40589641000000     		ar = 373787.789546098m²