Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66318 / 66806
↖ ↑ ↗
← S  3.486006°
E  2.147827°		 ← 304.80 m → S  3.486006°
E  2.150574°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.488748°
E  2.147827°		 ← 304.80 m →
92 918 m²		 S  3.488748°
E  2.150574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505970001220703 y=0.509693145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505970001220703 × 217)
    floor (0.505970001220703 × 131072)
    floor (66318.5)     		tx = 66318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509693145751953 × 217)
    floor (0.509693145751953 × 131072)
    floor (66806.5)     		ty = 66806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66318 / 66806 ti = "17/66318/66806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66318/66806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66318 ÷ 217
    66318 ÷ 131072     		x = 0.505966186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66806 ÷ 217
    66806 ÷ 131072     		y = 0.509689331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505966186523438 × 2 - 1) × π
    0.011932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03748666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509689331054688 × 2 - 1) × π
    -0.019378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0608798625174713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03748666} λ = 0.03748666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0608798625174713))-π/2
    2×atan(0.940936274701271)-π/2
    2×0.754977018279682-π/2
    1.50995403655936-1.57079632675     		φ = -0.06084229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03748666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.147827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06084229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.486006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66318 KachelY 66806 0.03748666 -0.06084229 2.147827 -3.486006
    Oben rechts KachelX + 1 66319 KachelY 66806 0.03753459 -0.06084229 2.150574 -3.486006
    Unten links KachelX 66318 KachelY + 1 66807 0.03748666 -0.06089014 2.147827 -3.488748
    Unten rechts KachelX + 1 66319 KachelY + 1 66807 0.03753459 -0.06089014 2.150574 -3.488748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06084229--0.06089014) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06084229--0.06089014) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03748666-0.03753459) × cos(-0.06084229) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998149678770273 × 6371000     		do = 304.797012153149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03748666-0.03753459) × cos(-0.06089014) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998146768119842 × 6371000     		du = 304.796123351024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06084229)-sin(-0.06089014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998149678770273-0.998146768119842)×R²
    abs(0.03753459-0.03748666)×2.91065043112049e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.91065043112049e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.91065043112049e-06×40589641000000     		ar = 92917.9499688938m²