Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66317 / 66815
↖ ↑ ↗
← S  3.510680°
E  2.145081°		 ← 304.85 m → S  3.510680°
E  2.147827°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.513421°
E  2.145081°		 ← 304.85 m →
92 935 m²		 S  3.513421°
E  2.147827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505962371826172 y=0.509761810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505962371826172 × 217)
    floor (0.505962371826172 × 131072)
    floor (66317.5)     		tx = 66317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509761810302734 × 217)
    floor (0.509761810302734 × 131072)
    floor (66815.5)     		ty = 66815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66317 / 66815 ti = "17/66317/66815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66317/66815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66317 ÷ 217
    66317 ÷ 131072     		x = 0.505958557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66815 ÷ 217
    66815 ÷ 131072     		y = 0.509757995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505958557128906 × 2 - 1) × π
    0.0119171142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03743872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509757995605469 × 2 - 1) × π
    -0.0195159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0613112946140518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03743872} λ = 0.03743872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0613112946140518))-π/2
    2×atan(0.940530412148889)-π/2
    2×0.754761704206226-π/2
    1.50952340841245-1.57079632675     		φ = -0.06127292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03743872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.145081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06127292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.510680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66317 KachelY 66815 0.03743872 -0.06127292 2.145081 -3.510680
    Oben rechts KachelX + 1 66318 KachelY 66815 0.03748666 -0.06127292 2.147827 -3.510680
    Unten links KachelX 66317 KachelY + 1 66816 0.03743872 -0.06132077 2.145081 -3.513421
    Unten rechts KachelX + 1 66318 KachelY + 1 66816 0.03748666 -0.06132077 2.147827 -3.513421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06127292--0.06132077) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06127292--0.06132077) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03743872-0.03748666) × cos(-0.06127292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998123401867991 × 6371000     		do = 304.852578626825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03743872-0.03748666) × cos(-0.06132077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998120470650342 × 6371000     		du = 304.851683357505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06127292)-sin(-0.06132077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998123401867991-0.998120470650342)×R²
    abs(0.03748666-0.03743872)×2.93121764904924e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.93121764904924e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.93121764904924e-06×40589641000000     		ar = 92934.8885531828m²