Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66300 / 66812
↖ ↑ ↗
← S  3.502455°
E  2.098389°		 ← 304.86 m → S  3.502455°
E  2.101135°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.505197°
E  2.098389°		 ← 304.85 m →
92 916 m²		 S  3.505197°
E  2.101135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505832672119141 y=0.509738922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505832672119141 × 217)
    floor (0.505832672119141 × 131072)
    floor (66300.5)     		tx = 66300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509738922119141 × 217)
    floor (0.509738922119141 × 131072)
    floor (66812.5)     		ty = 66812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66300 / 66812 ti = "17/66300/66812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66300/66812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66300 ÷ 217
    66300 ÷ 131072     		x = 0.505828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66812 ÷ 217
    66812 ÷ 131072     		y = 0.509735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505828857421875 × 2 - 1) × π
    0.01165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03662379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.01947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03662379} λ = 0.03662379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0611674839151917))-π/2
    2×atan(0.940665680211023)-π/2
    2×0.754833474933985-π/2
    1.50966694986797-1.57079632675     		φ = -0.06112938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03662379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.098389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06112938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.502455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66300 KachelY 66812 0.03662379 -0.06112938 2.098389 -3.502455
    Oben rechts KachelX + 1 66301 KachelY 66812 0.03667173 -0.06112938 2.101135 -3.502455
    Unten links KachelX 66300 KachelY + 1 66813 0.03662379 -0.06117722 2.098389 -3.505197
    Unten rechts KachelX + 1 66301 KachelY + 1 66813 0.03667173 -0.06117722 2.101135 -3.505197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06112938--0.06117722) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06112938--0.06117722) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03662379-0.03667173) × cos(-0.06112938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998132181198043 × 6371000     		do = 304.855260060203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03662379-0.03667173) × cos(-0.06117722) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998129257447305 × 6371000     		du = 304.85436707147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06112938)-sin(-0.06117722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998132181198043-0.998129257447305)×R²
    abs(0.03667173-0.03662379)×2.92375073851492e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.92375073851492e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.92375073851492e-06×40589641000000     		ar = 92916.2840419057m²