Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66297 / 66810
↖ ↑ ↗
← S  3.496972°
E  2.090149°		 ← 304.86 m → S  3.496972°
E  2.092896°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.499714°
E  2.090149°		 ← 304.86 m →
92 936 m²		 S  3.499714°
E  2.092896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505809783935547 y=0.509723663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505809783935547 × 217)
    floor (0.505809783935547 × 131072)
    floor (66297.5)     		tx = 66297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509723663330078 × 217)
    floor (0.509723663330078 × 131072)
    floor (66810.5)     		ty = 66810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66297 / 66810 ti = "17/66297/66810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66297/66810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66297 ÷ 217
    66297 ÷ 131072     		x = 0.505805969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66810 ÷ 217
    66810 ÷ 131072     		y = 0.509719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505805969238281 × 2 - 1) × π
    0.0116119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03647998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509719848632812 × 2 - 1) × π
    -0.019439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0610716101159515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03647998} λ = 0.03647998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0610716101159515))-π/2
    2×atan(0.940755869726937)-π/2
    2×0.754881322436221-π/2
    1.50976264487244-1.57079632675     		φ = -0.06103368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03647998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.090149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06103368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.496972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66297 KachelY 66810 0.03647998 -0.06103368 2.090149 -3.496972
    Oben rechts KachelX + 1 66298 KachelY 66810 0.03652792 -0.06103368 2.092896 -3.496972
    Unten links KachelX 66297 KachelY + 1 66811 0.03647998 -0.06108153 2.090149 -3.499714
    Unten rechts KachelX + 1 66298 KachelY + 1 66811 0.03652792 -0.06108153 2.092896 -3.499714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06103368--0.06108153) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06103368--0.06108153) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03647998-0.03652792) × cos(-0.06103368) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998138023066257 × 6371000     		do = 304.857044317125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03647998-0.03652792) × cos(-0.06108153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998135103274827 × 6371000     		du = 304.856152537667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06103368)-sin(-0.06108153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998138023066257-0.998135103274827)×R²
    abs(0.03652792-0.03647998)×2.91979143074439e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.91979143074439e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.91979143074439e-06×40589641000000     		ar = 92936.2504613247m²