Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66295 / 43930
↖ ↑ ↗
← N 50.913424°
E  2.084656°		 ← 192.53 m → N 50.913424°
E  2.087402°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.911692°
E  2.084656°		 ← 192.54 m →
37 081 m²		 N 50.911692°
E  2.087402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505794525146484 y=0.335163116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505794525146484 × 217)
    floor (0.505794525146484 × 131072)
    floor (66295.5)     		tx = 66295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335163116455078 × 217)
    floor (0.335163116455078 × 131072)
    floor (43930.5)     		ty = 43930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66295 / 43930 ti = "17/66295/43930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66295/43930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66295 ÷ 217
    66295 ÷ 131072     		x = 0.505790710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43930 ÷ 217
    43930 ÷ 131072     		y = 0.335159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505790710449219 × 2 - 1) × π
    0.0115814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03638411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335159301757812 × 2 - 1) × π
    0.329681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03572465319093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03638411} λ = 0.03638411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03572465319093))-π/2
    2×atan(2.81714695065655)-π/2
    2×1.22970160636419-π/2
    2.45940321272839-1.57079632675     		φ = 0.88860689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03638411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.084656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88860689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.913424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66295 KachelY 43930 0.03638411 0.88860689 2.084656 50.913424
    Oben rechts KachelX + 1 66296 KachelY 43930 0.03643204 0.88860689 2.087402 50.913424
    Unten links KachelX 66295 KachelY + 1 43931 0.03638411 0.88857666 2.084656 50.911692
    Unten rechts KachelX + 1 66296 KachelY + 1 43931 0.03643204 0.88857666 2.087402 50.911692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88860689-0.88857666) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88860689-0.88857666) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03638411-0.03643204) × cos(0.88860689) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630493961878416 × 6371000     		do = 192.528916101942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03638411-0.03643204) × cos(0.88857666) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630517425939585 × 6371000     		du = 192.536081135293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88860689)-sin(0.88857666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630493961878416-0.630517425939585)×R²
    abs(0.03643204-0.03638411)×2.3464061169487e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3464061169487e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3464061169487e-05×40589641000000     		ar = 37080.8601101235m²