Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66293 / 66811
↖ ↑ ↗
← S  3.499714°
E  2.079162°		 ← 304.86 m → S  3.499714°
E  2.081909°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.502455°
E  2.079162°		 ← 304.86 m →
92 936 m²		 S  3.502455°
E  2.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505779266357422 y=0.509731292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505779266357422 × 217)
    floor (0.505779266357422 × 131072)
    floor (66293.5)     		tx = 66293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509731292724609 × 217)
    floor (0.509731292724609 × 131072)
    floor (66811.5)     		ty = 66811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66293 / 66811 ti = "17/66293/66811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66293/66811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66293 ÷ 217
    66293 ÷ 131072     		x = 0.505775451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66811 ÷ 217
    66811 ÷ 131072     		y = 0.509727478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505775451660156 × 2 - 1) × π
    0.0115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03628823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509727478027344 × 2 - 1) × π
    -0.0194549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0611195470155716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03628823} λ = 0.03628823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0611195470155716))-π/2
    2×atan(0.940710773888129)-π/2
    2×0.7548573986501-π/2
    1.5097147973002-1.57079632675     		φ = -0.06108153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03628823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.079162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06108153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.499714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66293 KachelY 66811 0.03628823 -0.06108153 2.079162 -3.499714
    Oben rechts KachelX + 1 66294 KachelY 66811 0.03633617 -0.06108153 2.081909 -3.499714
    Unten links KachelX 66293 KachelY + 1 66812 0.03628823 -0.06112938 2.079162 -3.502455
    Unten rechts KachelX + 1 66294 KachelY + 1 66812 0.03633617 -0.06112938 2.081909 -3.502455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06108153--0.06112938) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06108153--0.06112938) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03628823-0.03633617) × cos(-0.06108153) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998135103274827 × 6371000     		do = 304.856152537711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03628823-0.03633617) × cos(-0.06112938) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998132181198043 × 6371000     		du = 304.855260060247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06108153)-sin(-0.06112938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998135103274827-0.998132181198043)×R²
    abs(0.03633617-0.03628823)×2.92207678331824e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.92207678331824e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.92207678331824e-06×40589641000000     		ar = 92935.9784938779m²