Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66290 / 66776
↖ ↑ ↗
← S  3.403758°
E  2.070923°		 ← 304.89 m → S  3.403758°
E  2.073669°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.406499°
E  2.070923°		 ← 304.89 m →
92 945 m²		 S  3.406499°
E  2.073669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505756378173828 y=0.509464263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505756378173828 × 217)
    floor (0.505756378173828 × 131072)
    floor (66290.5)     		tx = 66290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509464263916016 × 217)
    floor (0.509464263916016 × 131072)
    floor (66776.5)     		ty = 66776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66290 / 66776 ti = "17/66290/66776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66290/66776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66290 ÷ 217
    66290 ÷ 131072     		x = 0.505752563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66776 ÷ 217
    66776 ÷ 131072     		y = 0.50946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505752563476562 × 2 - 1) × π
    0.011505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03614442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0594417555288696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03614442} λ = 0.03614442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0594417555288696))-π/2
    2×atan(0.942290415199824)-π/2
    2×0.755694772428631-π/2
    1.51138954485726-1.57079632675     		φ = -0.05940678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03614442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.070923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05940678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.403758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66290 KachelY 66776 0.03614442 -0.05940678 2.070923 -3.403758
    Oben rechts KachelX + 1 66291 KachelY 66776 0.03619236 -0.05940678 2.073669 -3.403758
    Unten links KachelX 66290 KachelY + 1 66777 0.03614442 -0.05945463 2.070923 -3.406499
    Unten rechts KachelX + 1 66291 KachelY + 1 66777 0.03619236 -0.05945463 2.073669 -3.406499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05940678--0.05945463) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05940678--0.05945463) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03614442-0.03619236) × cos(-0.05940678) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998235936142686 × 6371000     		do = 304.886949490993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03614442-0.03619236) × cos(-0.05945463) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998233094057187 × 6371000     		du = 304.886081444927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05940678)-sin(-0.05945463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998235936142686-0.998233094057187)×R²
    abs(0.03619236-0.03614442)×2.8420854991662e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.8420854991662e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.8420854991662e-06×40589641000000     		ar = 92945.3707414485m²