Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66289 / 66822
↖ ↑ ↗
← S  3.529869°
E  2.068177°		 ← 304.78 m → S  3.529869°
E  2.070923°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.532611°
E  2.068177°		 ← 304.78 m →
92 914 m²		 S  3.532611°
E  2.070923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505748748779297 y=0.509815216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505748748779297 × 217)
    floor (0.505748748779297 × 131072)
    floor (66289.5)     		tx = 66289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509815216064453 × 217)
    floor (0.509815216064453 × 131072)
    floor (66822.5)     		ty = 66822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66289 / 66822 ti = "17/66289/66822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66289/66822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66289 ÷ 217
    66289 ÷ 131072     		x = 0.505744934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66822 ÷ 217
    66822 ÷ 131072     		y = 0.509811401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505744934082031 × 2 - 1) × π
    0.0114898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03609649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509811401367188 × 2 - 1) × π
    -0.019622802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0616468529113922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03609649} λ = 0.03609649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0616468529113922))-π/2
    2×atan(0.940214862310836)-π/2
    2×0.754594241635204-π/2
    1.50918848327041-1.57079632675     		φ = -0.06160784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03609649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.068177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06160784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.529869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66289 KachelY 66822 0.03609649 -0.06160784 2.068177 -3.529869
    Oben rechts KachelX + 1 66290 KachelY 66822 0.03614442 -0.06160784 2.070923 -3.529869
    Unten links KachelX 66289 KachelY + 1 66823 0.03609649 -0.06165569 2.068177 -3.532611
    Unten rechts KachelX + 1 66290 KachelY + 1 66823 0.03614442 -0.06165569 2.070923 -3.532611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06160784--0.06165569) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06160784--0.06165569) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03609649-0.03614442) × cos(-0.06160784) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998102837200048 × 6371000     		do = 304.782708516132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03609649-0.03614442) × cos(-0.06165569) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998099889986739 × 6371000     		du = 304.781808549093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06160784)-sin(-0.06165569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998102837200048-0.998099889986739)×R²
    abs(0.03614442-0.03609649)×2.94721330862391e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.94721330862391e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.94721330862391e-06×40589641000000     		ar = 92913.587769706m²