Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66287 / 66841
↖ ↑ ↗
← S  3.581954°
E  2.062683°		 ← 304.83 m → S  3.581954°
E  2.065430°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.584695°
E  2.062683°		 ← 304.83 m →
92 908 m²		 S  3.584695°
E  2.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505733489990234 y=0.509960174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505733489990234 × 217)
    floor (0.505733489990234 × 131072)
    floor (66287.5)     		tx = 66287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509960174560547 × 217)
    floor (0.509960174560547 × 131072)
    floor (66841.5)     		ty = 66841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66287 / 66841 ti = "17/66287/66841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66287/66841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66287 ÷ 217
    66287 ÷ 131072     		x = 0.505729675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66841 ÷ 217
    66841 ÷ 131072     		y = 0.509956359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505729675292969 × 2 - 1) × π
    0.0114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03600061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509956359863281 × 2 - 1) × π
    -0.0199127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0625576540041733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03600061} λ = 0.03600061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0625576540041733))-π/2
    2×atan(0.939358903450099)-π/2
    2×0.754139717864776-π/2
    1.50827943572955-1.57079632675     		φ = -0.06251689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03600061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.062683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06251689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.581954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66287 KachelY 66841 0.03600061 -0.06251689 2.062683 -3.581954
    Oben rechts KachelX + 1 66288 KachelY 66841 0.03604855 -0.06251689 2.065430 -3.581954
    Unten links KachelX 66287 KachelY + 1 66842 0.03600061 -0.06256473 2.062683 -3.584695
    Unten rechts KachelX + 1 66288 KachelY + 1 66842 0.03604855 -0.06256473 2.065430 -3.584695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06251689--0.06256473) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dl = 304.788639999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06251689--0.06256473) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dr = 304.788639999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03600061-0.03604855) × cos(-0.06251689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998046455619863 × 6371000     		do = 304.82907726205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03600061-0.03604855) × cos(-0.06256473) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998043465617562 × 6371000     		du = 304.828164038385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06251689)-sin(-0.06256473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998046455619863-0.998043465617562)×R²
    abs(0.03604855-0.03600061)×2.99000230119528e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.99000230119528e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.99000230119528e-06×40589641000000     		ar = 92908.3007387624m²