Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66286 / 66786
↖ ↑ ↗
← S  3.431175°
E  2.059936°		 ← 304.88 m → S  3.431175°
E  2.062683°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.433917°
E  2.059936°		 ← 304.88 m →
92 943 m²		 S  3.433917°
E  2.062683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505725860595703 y=0.509540557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505725860595703 × 217)
    floor (0.505725860595703 × 131072)
    floor (66286.5)     		tx = 66286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509540557861328 × 217)
    floor (0.509540557861328 × 131072)
    floor (66786.5)     		ty = 66786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66286 / 66786 ti = "17/66286/66786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66286/66786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66286 ÷ 217
    66286 ÷ 131072     		x = 0.505722045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66786 ÷ 217
    66786 ÷ 131072     		y = 0.509536743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505722045898438 × 2 - 1) × π
    0.011444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03595267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509536743164062 × 2 - 1) × π
    -0.019073486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0599211245250702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03595267} λ = 0.03595267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0599211245250702))-π/2
    2×atan(0.941838818638703)-π/2
    2×0.755455514163234-π/2
    1.51091102832647-1.57079632675     		φ = -0.05988530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03595267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.059936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05988530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.431175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66286 KachelY 66786 0.03595267 -0.05988530 2.059936 -3.431175
    Oben rechts KachelX + 1 66287 KachelY 66786 0.03600061 -0.05988530 2.062683 -3.431175
    Unten links KachelX 66286 KachelY + 1 66787 0.03595267 -0.05993315 2.059936 -3.433917
    Unten rechts KachelX + 1 66287 KachelY + 1 66787 0.03600061 -0.05993315 2.062683 -3.433917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05988530--0.05993315) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05988530--0.05993315) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03595267-0.03600061) × cos(-0.05988530) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998207411240524 × 6371000     		do = 304.878237251642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03595267-0.03600061) × cos(-0.05993315) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998204546298594 × 6371000     		du = 304.877362224633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05988530)-sin(-0.05993315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998207411240524-0.998204546298594)×R²
    abs(0.03600061-0.03595267)×2.86494193035836e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.86494193035836e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.86494193035836e-06×40589641000000     		ar = 92942.7137307293m²