Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66278 / 66779
↖ ↑ ↗
← S  3.411983°
E  2.037964°		 ← 304.88 m → S  3.411983°
E  2.040711°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.414725°
E  2.037964°		 ← 304.88 m →
92 945 m²		 S  3.414725°
E  2.040711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505664825439453 y=0.509487152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505664825439453 × 217)
    floor (0.505664825439453 × 131072)
    floor (66278.5)     		tx = 66278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509487152099609 × 217)
    floor (0.509487152099609 × 131072)
    floor (66779.5)     		ty = 66779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66278 / 66779 ti = "17/66278/66779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66278/66779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66278 ÷ 217
    66278 ÷ 131072     		x = 0.505661010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66779 ÷ 217
    66779 ÷ 131072     		y = 0.509483337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505661010742188 × 2 - 1) × π
    0.011322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03556918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509483337402344 × 2 - 1) × π
    -0.0189666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0595855662277298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03556918} λ = 0.03556918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0595855662277298))-π/2
    2×atan(0.942154913500215)-π/2
    2×0.755622994231517-π/2
    1.51124598846303-1.57079632675     		φ = -0.05955034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03556918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05955034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.411983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66278 KachelY 66779 0.03556918 -0.05955034 2.037964 -3.411983
    Oben rechts KachelX + 1 66279 KachelY 66779 0.03561712 -0.05955034 2.040711 -3.411983
    Unten links KachelX 66278 KachelY + 1 66780 0.03556918 -0.05959819 2.037964 -3.414725
    Unten rechts KachelX + 1 66279 KachelY + 1 66780 0.03561712 -0.05959819 2.040711 -3.414725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05955034--0.05959819) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05955034--0.05959819) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03556918-0.03561712) × cos(-0.05955034) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998227402434313 × 6371000     		do = 304.884343076799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03556918-0.03561712) × cos(-0.05959819) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998224553491625 × 6371000     		du = 304.88347293637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05955034)-sin(-0.05959819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998227402434313-0.998224553491625)×R²
    abs(0.03561712-0.03556918)×2.84894268809399e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.84894268809399e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.84894268809399e-06×40589641000000     		ar = 92944.5758507356m²