Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66275 / 44204
↖ ↑ ↗
← N 50.436516°
E  2.029724°		 ← 194.54 m → N 50.436516°
E  2.032471°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 50.434766°
E  2.029724°		 ← 194.54 m →
37 852 m²		 N 50.434766°
E  2.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505641937255859 y=0.337253570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505641937255859 × 217)
    floor (0.505641937255859 × 131072)
    floor (66275.5)     		tx = 66275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337253570556641 × 217)
    floor (0.337253570556641 × 131072)
    floor (44204.5)     		ty = 44204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66275 / 44204 ti = "17/66275/44204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66275/44204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66275 ÷ 217
    66275 ÷ 131072     		x = 0.505638122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44204 ÷ 217
    44204 ÷ 131072     		y = 0.337249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505638122558594 × 2 - 1) × π
    0.0112762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03542537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337249755859375 × 2 - 1) × π
    0.32550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02258994269504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03542537} λ = 0.03542537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02258994269504))-π/2
    2×atan(2.78038648854236)-π/2
    2×1.22553979725377-π/2
    2.45107959450755-1.57079632675     		φ = 0.88028327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03542537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.029724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88028327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.436516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66275 KachelY 44204 0.03542537 0.88028327 2.029724 50.436516
    Oben rechts KachelX + 1 66276 KachelY 44204 0.03547331 0.88028327 2.032471 50.436516
    Unten links KachelX 66275 KachelY + 1 44205 0.03542537 0.88025273 2.029724 50.434766
    Unten rechts KachelX + 1 66276 KachelY + 1 44205 0.03547331 0.88025273 2.032471 50.434766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88028327-0.88025273) × R
    3.05399999999123e-05 × 6371000     		dl = 194.570339999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88028327-0.88025273) × R
    3.05399999999123e-05 × 6371000     		dr = 194.570339999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03542537-0.03547331) × cos(0.88028327) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.636932791436168 × 6371000     		do = 194.53566915467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03542537-0.03547331) × cos(0.88025273) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.636956335015587 × 6371000     		du = 194.542859969837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88028327)-sin(0.88025273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636932791436168-0.636956335015587)×R²
    abs(0.03547331-0.03542537)×2.35435794190275e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35435794190275e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35435794190275e-05×40589641000000     		ar = 37851.5708521676m²