Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66269 / 44365
↖ ↑ ↗
← N 50.154026°
E  2.013245°		 ← 195.65 m → N 50.154026°
E  2.015991°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 50.152266°
E  2.013245°		 ← 195.66 m →
38 293 m²		 N 50.152266°
E  2.015991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505596160888672 y=0.338481903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505596160888672 × 217)
    floor (0.505596160888672 × 131072)
    floor (66269.5)     		tx = 66269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338481903076172 × 217)
    floor (0.338481903076172 × 131072)
    floor (44365.5)     		ty = 44365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66269 / 44365 ti = "17/66269/44365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66269/44365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66269 ÷ 217
    66269 ÷ 131072     		x = 0.505592346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44365 ÷ 217
    44365 ÷ 131072     		y = 0.338478088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505592346191406 × 2 - 1) × π
    0.0111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03513775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338478088378906 × 2 - 1) × π
    0.323043823242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.01487210185621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03513775} λ = 0.03513775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01487210185621))-π/2
    2×atan(2.75901050248749)-π/2
    2×1.22307460777536-π/2
    2.44614921555072-1.57079632675     		φ = 0.87535289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03513775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.013245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87535289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.154026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66269 KachelY 44365 0.03513775 0.87535289 2.013245 50.154026
    Oben rechts KachelX + 1 66270 KachelY 44365 0.03518568 0.87535289 2.015991 50.154026
    Unten links KachelX 66269 KachelY + 1 44366 0.03513775 0.87532217 2.013245 50.152266
    Unten rechts KachelX + 1 66270 KachelY + 1 44366 0.03518568 0.87532217 2.015991 50.152266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87535289-0.87532217) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87535289-0.87532217) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03513775-0.03518568) × cos(0.87535289) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.64072595983034 × 6371000     		do = 195.653379767469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03513775-0.03518568) × cos(0.87532217) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.640749545411831 × 6371000     		du = 195.660581908512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87535289)-sin(0.87532217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64072595983034-0.640749545411831)×R²
    abs(0.03518568-0.03513775)×2.35855814907371e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.35855814907371e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.35855814907371e-05×40589641000000     		ar = 38293.420800428m²