Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66262 / 44558
↖ ↑ ↗
← N 49.813176°
E  1.994019°		 ← 197.09 m → N 49.813176°
E  1.996765°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 49.811404°
E  1.994019°		 ← 197.09 m →
38 850 m²		 N 49.811404°
E  1.996765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505542755126953 y=0.339954376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505542755126953 × 217)
    floor (0.505542755126953 × 131072)
    floor (66262.5)     		tx = 66262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339954376220703 × 217)
    floor (0.339954376220703 × 131072)
    floor (44558.5)     		ty = 44558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66262 / 44558 ti = "17/66262/44558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66262/44558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66262 ÷ 217
    66262 ÷ 131072     		x = 0.505538940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44558 ÷ 217
    44558 ÷ 131072     		y = 0.339950561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505538940429688 × 2 - 1) × π
    0.011077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03480219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339950561523438 × 2 - 1) × π
    0.320098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00562028022954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03480219} λ = 0.03480219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00562028022954))-π/2
    2×atan(2.7336023465522)-π/2
    2×1.22010013233514-π/2
    2.44020026467028-1.57079632675     		φ = 0.86940394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03480219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.994019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86940394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.813176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66262 KachelY 44558 0.03480219 0.86940394 1.994019 49.813176
    Oben rechts KachelX + 1 66263 KachelY 44558 0.03485013 0.86940394 1.996765 49.813176
    Unten links KachelX 66262 KachelY + 1 44559 0.03480219 0.86937300 1.994019 49.811404
    Unten rechts KachelX + 1 66263 KachelY + 1 44559 0.03485013 0.86937300 1.996765 49.811404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86940394-0.86937300) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86940394-0.86937300) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03480219-0.03485013) × cos(0.86940394) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		do = 197.085738030394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03480219-0.03485013) × cos(0.86937300) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.645305654702112 × 6371000     		du = 197.092957113591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86940394)-sin(0.86937300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645282018569817-0.645305654702112)×R²
    abs(0.03485013-0.03480219)×2.36361322952794e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.36361322952794e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.36361322952794e-05×40589641000000     		ar = 38850.0038639105m²