Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66244 / 44367
↖ ↑ ↗
← N 50.150507°
E  1.944580°		 ← 195.71 m → N 50.150507°
E  1.947327°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 50.148746°
E  1.944580°		 ← 195.72 m →
38 304 m²		 N 50.148746°
E  1.947327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505405426025391 y=0.338497161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505405426025391 × 217)
    floor (0.505405426025391 × 131072)
    floor (66244.5)     		tx = 66244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338497161865234 × 217)
    floor (0.338497161865234 × 131072)
    floor (44367.5)     		ty = 44367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66244 / 44367 ti = "17/66244/44367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66244/44367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66244 ÷ 217
    66244 ÷ 131072     		x = 0.505401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44367 ÷ 217
    44367 ÷ 131072     		y = 0.338493347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505401611328125 × 2 - 1) × π
    0.01080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03393932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338493347167969 × 2 - 1) × π
    0.323013305664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01477622805697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03393932} λ = 0.03393932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01477622805697))-π/2
    2×atan(2.75874599834819)-π/2
    2×1.22304389222886-π/2
    2.44608778445771-1.57079632675     		φ = 0.87529146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03393932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.944580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87529146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.150507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66244 KachelY 44367 0.03393932 0.87529146 1.944580 50.150507
    Oben rechts KachelX + 1 66245 KachelY 44367 0.03398726 0.87529146 1.947327 50.150507
    Unten links KachelX 66244 KachelY + 1 44368 0.03393932 0.87526074 1.944580 50.148746
    Unten rechts KachelX + 1 66245 KachelY + 1 44368 0.03398726 0.87526074 1.947327 50.148746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87529146-0.87526074) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87529146-0.87526074) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03393932-0.03398726) × cos(0.87529146) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.640773122711332 × 6371000     		do = 195.708605176204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03393932-0.03398726) × cos(0.87526074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.640796707083623 × 6371000     		du = 195.715808450564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87529146)-sin(0.87526074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640773122711332-0.640796707083623)×R²
    abs(0.03398726-0.03393932)×2.35843722909967e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35843722909967e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35843722909967e-05×40589641000000     		ar = 38304.22946936m²